Wzór na sumę ciągu geometrycznego – proste wyjaśnienie

Ciąg geometryczny i jego suma to temat, który bardzo często pojawia się w szkole średniej, na maturze oraz w zadaniach praktycznych (np. procent składany, raty, wzrosty i spadki). W tym artykule krok po kroku wyjaśnimy, czym jest ciąg geometryczny, skąd bierze się wzór na sumę jego wyrazów i jak z niego korzystać w praktyce.

Czym jest ciąg geometryczny?

Ciąg geometryczny to taki ciąg liczbowy, w którym każdy kolejny wyraz powstaje przez pomnożenie poprzedniego przez tę samą liczbę – nazywaną ilorazem ciągu.

Formalnie:

Cięg \\( (a_n) \\) jest geometryczny, jeśli dla każdego \\( n \ge 1 \\) zachodzi:

\\[ a_{n+1} = a_n \cdot q \\]

gdzie:

\\( a_1 \\) – pierwszy wyraz ciągu,
\\( q \\) – stała liczba, nazywana ilorazem ciągu geometrycznego.

Przykład prostego ciągu geometrycznego

Rozważmy ciąg:

\\[ 2,\ 6,\ 18,\ 54,\ 162,\dots \\]

Każdy kolejny wyraz powstaje z poprzedniego przez pomnożenie przez \\( q = 3 \\):

\\( 6 = 2 \cdot 3 \\)
\\( 18 = 6 \cdot 3 \\)
\\( 54 = 18 \cdot 3 \\)

Zatem jest to ciąg geometryczny o:

pierwszym wyrazie \\( a_1 = 2 \\),
ilorazie \\( q = 3 \\).

Ogólny wzór ciągu geometrycznego

Jeśli znamy pierwszy wyraz \\( a_1 \\) i iloraz \\( q \\), to \\( n \\)-ty wyraz ciągu geometrycznego można obliczyć ze wzoru:

\\[ a_n = a_1 \cdot q^{\,n-1} \\]

Wyjaśnienie wzoru na \\( a_n \\)

\\( a_1 \\) – pierwszy wyraz (nie zmieniamy go),
\\( a_2 = a_1 \cdot q \\),
\\( a_3 = a_2 \cdot q = a_1 \cdot q \cdot q = a_1 \cdot q^2 \\),
\\( a_4 = a_3 \cdot q = a_1 \cdot q^2 \cdot q = a_1 \cdot q^3 \\),

Widać, że w ogólności:

\\[ a_n = a_1 \cdot q^{\,n-1} \\]

Co to jest suma ciągu geometrycznego?

Suma ciągu geometrycznego to po prostu dodawanie kolejnych jego wyrazów. Najczęściej interesuje nas suma pierwszych \\( n \\) wyrazów ciągu geometrycznego:

\\[ S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n \\]

Na przykład dla ciągu \\( 2,\ 6,\ 18,\ 54,\dots \\):

suma pierwszych 2 wyrazów: \\( S_2 = 2 + 6 = 8 \\),
suma pierwszych 3 wyrazów: \\( S_3 = 2 + 6 + 18 = 26 \\),
suma pierwszych 4 wyrazów: \\( S_4 = 2 + 6 + 18 + 54 = 80 \\).

Wzór na sumę ciągu geometrycznego (\\( q \neq 1 \\))

Najczęściej używany wzór na sumę pierwszych \\( n \\) wyrazów ciągu geometrycznego (dla \\( q \neq 1 \\)) ma postać:

\\[ S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n = a_1 \cdot \frac{1 – q^n}{1 – q} \\]

lub równoważnie:

\\[ S_n = a_1 \cdot \frac{q^n – 1}{q – 1} \\]

Oba wzory są równoważne – wybieramy tę wersję, która wygodniej wygląda w konkretnym zadaniu.

Kiedy który wzór jest wygodniejszy?

Jeśli \\( |q| < 1 \\) (iloraz mniejszy od 1), często wygodny jest zapis: \\( S_n = a_1 \cdot \frac{1 – q^n}{1 – q} \\).
Jeśli \\( q > 1 \\), czasem wygodniej jest użyć: \\( S_n = a_1 \cdot \frac{q^n – 1}{q – 1} \\).

Matematycznie to to samo, bo jeśli pomnożymy licznik i mianownik przez \\( -1 \\), dostajemy drugi zapis.

Skąd się bierze wzór na sumę ciągu geometrycznego?

Załóżmy, że mamy ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie \\( a_1 \\) i ilorazie \\( q \\). Zapiszmy sumę pierwszych \\( n \\) wyrazów:

\\[ S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n \\]

Korzystając ze wzoru na \\( a_n \\) mamy:

\\[ S_n = a_1 + a_1 q + a_1 q^2 + \dots + a_1 q^{n-1} \\]

Teraz wykonamy sprytny trik: pomnożymy obie strony równania przez \\( q \\).

\\[ q S_n = a_1 q + a_1 q^2 + a_1 q^3 + \dots + a_1 q^{n} \\]

Odejmowanie równań

Mamy dwa równania:

\\( S_n = a_1 + a_1 q + a_1 q^2 + \dots + a_1 q^{n-1} \\)
\\( q S_n = \phantom{a_1 +\;} a_1 q + a_1 q^2 + \dots + a_1 q^{n} \\)

Odejmujemy (1) – (2):

\\[ S_n – q S_n = (a_1 + a_1 q + \dots + a_1 q^{n-1}) – (a_1 q + a_1 q^2 + \dots + a_1 q^{n}) \\]

Po prawej stronie prawie wszystkie składniki się skracają (te z \\( a_1 q, a_1 q^2, \dots, a_1 q^{n-1} \\)). Zostaje tylko:

\\[ S_n – q S_n = a_1 – a_1 q^{n} \\]

Po lewej stronie możemy wyciągnąć \\( S_n \\) przed nawias:

\\[ S_n (1 – q) = a_1 (1 – q^{n}) \\]

Teraz dzielimy obustronnie przez \\( 1 – q \\) (zakładamy \\( q \neq 1 \\)):

\\[ S_n = a_1 \cdot \frac{1 – q^{n}}{1 – q} \\]

I to właśnie jest wzór na sumę ciągu geometrycznego.

Przypadek szczególny: \\( q = 1 \\)

Jeśli \\( q = 1 \\), to ciąg geometryczny jest tak naprawdę ciągiem stałym:

\\[ a_1 = a_2 = a_3 = \dots = a_n \\]

Wtedy każdy wyraz jest taki sam, np. \\( 5, 5, 5, 5, \dots \\). Suma pierwszych \\( n \\) wyrazów to po prostu:

\\[ S_n = n \cdot a_1 \\]

Uwaga: wzór \\( S_n = a_1 \cdot \frac{1 – q^{n}}{1 – q} \\) nie działa dla \\( q = 1 \\), bo pojawiłoby się dzielenie przez zero. Dlatego przypadek \\( q = 1 \\) traktujemy osobno.

Podsumowanie wzorów – tabela

Wielkość	Oznaczenie	Wzór	Uwaga
\\( n \\)-ty wyraz	\\( a_n \\)	\\( a_n = a_1 \cdot q^{\,n-1} \\)	\\( n \ge 1 \\)
Suma pierwszych \\( n \\) wyrazów (\\( q \neq 1 \\))	\\( S_n \\)	\\( S_n = a_1 \cdot \frac{1 – q^{n}}{1 – q} \\)	Równoważnie: \\( S_n = a_1 \cdot \frac{q^{n} – 1}{q – 1} \\)
Suma przy \\( q = 1 \\)	\\( S_n \\)	\\( S_n = n \cdot a_1 \\)	Ciąg stały

Przykład 1 – obliczanie sumy ciągu geometrycznego (\\( q > 1 \\))

Zadanie: Dany jest ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie \\( a_1 = 2 \\) i ilorazie \\( q = 3 \\). Oblicz sumę pierwszych 4 wyrazów.

Krok 1: wypisz pierwsze wyrazy

Skorzystajmy z definicji:

\\( a_1 = 2 \\)
\\( a_2 = 2 \cdot 3 = 6 \\)
\\( a_3 = 6 \cdot 3 = 18 \\)
\\( a_4 = 18 \cdot 3 = 54 \\)

Suma „na piechotę” to:

\\[ S_4 = 2 + 6 + 18 + 54 = 80 \\]

Krok 2: użyj wzoru na sumę

\\[ S_4 = a_1 \cdot \frac{q^4 – 1}{q – 1} = 2 \cdot \frac{3^4 – 1}{3 – 1} \\]

Obliczenia:

\\( 3^4 = 81 \\)
\\( 3^4 – 1 = 80 \\)
\\( 3 – 1 = 2 \\)

\\[ S_4 = 2 \cdot \frac{80}{2} = 2 \cdot 40 = 80 \\]

Wynik zgadza się z obliczeniem „na piechotę”.

Przykład 2 – suma przy \\( 0 < q < 1 \\)

Zadanie: Dany jest ciąg geometryczny o \\( a_1 = 100 \\) i \\( q = 0{,}5 \\). Oblicz sumę pierwszych 5 wyrazów.

Krok 1: wyrazy ciągu

\\( a_1 = 100 \\)
\\( a_2 = 100 \cdot 0{,}5 = 50 \\)
\\( a_3 = 50 \cdot 0{,}5 = 25 \\)
\\( a_4 = 25 \cdot 0{,}5 = 12{,}5 \\)
\\( a_5 = 12{,}5 \cdot 0{,}5 = 6{,}25 \\)

„Na piechotę”:

\\[ S_5 = 100 + 50 + 25 + 12{,}5 + 6{,}25 = 193{,}75 \\]

Krok 2: użycie wzoru

Skorzystajmy z wersji:

\\[ S_n = a_1 \cdot \frac{1 – q^n}{1 – q} \\]

Podstawiamy:

\\[ S_5 = 100 \cdot \frac{1 – 0{,}5^5}{1 – 0{,}5} \\]

\\( 0{,}5^2 = 0{,}25 \\)
\\( 0{,}5^3 = 0{,}125 \\)
\\( 0{,}5^4 = 0{,}0625 \\)
\\( 0{,}5^5 = 0{,}03125 \\)

\\[ S_5 = 100 \cdot \frac{1 – 0{,}03125}{0{,}5} = 100 \cdot \frac{0{,}96875}{0{,}5} \\]

\\[ \frac{0{,}96875}{0{,}5} = 1{,}9375 \\]

\\[ S_5 = 100 \cdot 1{,}9375 = 193{,}75 \\]

Wynik ponownie się zgadza.

Przykład 3 – suma przy \\( q = 1 \\)

Zadanie: Ciąg jest stały: \\( 7,\ 7,\ 7,\ 7,\dots \\). Oblicz sumę pierwszych 10 wyrazów.

Tu \\( a_1 = 7 \\), \\( q = 1 \\).

Skoro każdy z 10 wyrazów jest równy 7, to:

\\[ S_{10} = 10 \cdot 7 = 70 \\]

Nie używamy wzoru z ułamkiem, bo \\( q = 1 \\).

Jak rozpoznać, że zadanie dotyczy sumy ciągu geometrycznego?

Najczęstsze formy poleceń:

„Oblicz sumę pierwszych \\( n \\) wyrazów ciągu geometrycznego…”
„Dany jest ciąg geometryczny… Oblicz \\( S_n \\)”
„Ile wynosi suma pierwszych 10 rat, jeśli każda kolejna rata jest o stały procent mniejsza od poprzedniej?” – to też typowe zadanie geometryczne (malejący ciąg).
„Ile wyniesie łączna kwota po n okresach procentu składanego…” – często (choć nie zawsze) sprowadza się do sumy ciągu geometrycznego.

Prosty, responsywny wykres ciągu geometrycznego

Poniżej zobaczysz prosty wykres słupkowy pokazujący pierwsze wyrazy przykładowego ciągu geometrycznego (\\( a_1 = 2 \\), \\( q = 3 \\)). Wykres jest responsywny – powinien poprawnie skalować się na telefonie.

Prosty kalkulator sumy ciągu geometrycznego

Poniższy kalkulator pozwoli Ci szybko obliczyć sumę pierwszych \\( n \\) wyrazów ciągu geometrycznego. Wystarczy, że podasz:

pierwszy wyraz \\( a_1 \\),
iloraz \\( q \\),
liczbę wyrazów \\( n \\).

Kalkulator sumy ciągu geometrycznego

Pierwszy wyraz \\( a_1 \\):

Iloraz \\( q \\):

Liczba wyrazów \\( n \\):

Jak samodzielnie używać wzoru na sumę ciągu geometrycznego?

Sprawdź, czy ciąg jest geometryczny – czy istnieje stały iloraz \\( q \\), taki że \\( a_{n+1} = a_n \cdot q \\) dla wszystkich kolejnych wyrazów.
Ustal dane – znajdź \\( a_1 \\), \\( q \\) i \\( n \\) (liczbę wyrazów, których suma Cię interesuje).
Wybierz odpowiedni wzór:
- gdy \\( q \neq 1 \\): \\( S_n = a_1 \cdot \frac{1 – q^{n}}{1 – q} \\),
- gdy \\( q = 1 \\): \\( S_n = n \cdot a_1 \\).
Podstaw do wzoru, wykonaj działania krok po kroku (najpierw potęga \\( q^n \\), potem liczenie licznika i mianownika, na końcu mnożenie przez \\( a_1 \\)).
Sprawdź zdroworozsądkowo wynik:
- Jeśli ciąg rośnie (\\( q > 1 \\)), suma powinna być większa niż ostatni wyraz.
- Jeśli ciąg maleje (\\( 0 < q < 1 \\)), suma powinna być większa niż pierwszy wyraz, ale nie „gigantycznie” większa.

Najczęstsze błędy przy korzystaniu ze wzoru na sumę ciągu geometrycznego

Mylenie wzoru na \\( a_n \\) ze wzorem na \\( S_n \\) – pamiętaj:
- \\( a_n = a_1 \cdot q^{n-1} \\) – pojedynczy \\( n \\)-ty wyraz.
- \\( S_n = a_1 \cdot \frac{1 – q^n}{1 – q} \\) – suma pierwszych \\( n \\) wyrazów.
Złe wstawienie \\( n \\) do potęgi – we wzorze \\( S_n \\) zawsze jest \\( q^n \\), a we wzorze na \\( a_n \\) – \\( q^{n-1} \\).
Zapomnienie o przypadku \\( q = 1 \\) – wtedy używamy \\( S_n = n \cdot a_1 \\).
Błędna kolejność działań – warto najpierw obliczyć potęgę \\( q^n \\), później licznik, później mianownik, a na końcu pomnożyć przez \\( a_1 \\).

Zastosowania sumy ciągu geometrycznego w praktyce

Procent składany – gdy wartość rośnie co okres o stały procent, np. odsetki na lokacie.
Raty malejące – jeśli część raty maleje w sposób geometryczny.
Modele wzrostu i rozpadu – np. modele populacji, promieniotwórczości (w uproszczonych krokowych modelach).
Analiza algorytmów – sumy geometryczne często pojawiają się przy analizie złożoności algorytmów (np. dzielenie problemu na części).