W matematyce szkolnej słowo „delta” najczęściej pojawia się przy równaniach kwadratowych. Uczniowie często znają sam wzór na deltę, ale nie do końca rozumieją, skąd się bierze i po co się go liczy. W tym artykule krok po kroku wyjaśnimy, czym jest delta, jak wygląda wzór na deltę, jak ją obliczać i jak interpretować jej wartość.
Równanie kwadratowe – skąd bierze się delta?
Delta pojawia się przy rozwiązywaniu równań kwadratowych, czyli równań postaci:
$$ax^2 + bx + c = 0,$$
gdzie:
- \(a, b, c\) – liczby rzeczywiste (współczynniki równania),
- \(a \neq 0\) – bo inaczej równanie nie byłoby kwadratowe, tylko liniowe.
Celem jest znalezienie wszystkich liczb \(x\), które spełniają to równanie. Jedną z najważniejszych metod jest wykorzystanie tzw. wzoru kwadratowego, który opiera się właśnie na deltcie.
Co to jest delta w matematyce?
Delta (oznaczana grecką literą \(\Delta\)) to wyrażenie zbudowane z współczynników \(a\), \(b\), \(c\) równania kwadratowego, które pozwala nam stwierdzić:
- czy równanie ma rozwiązania (pierwiastki),
- ile tych rozwiązań jest,
- jak można je obliczyć.
Intuicyjnie: delta mówi, jak „przecina się” parabola z osią \(Ox\) (czyli ile ma punktów wspólnych z osią \(x\)).
Wzór na deltę
Dla równania kwadratowego
$$ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0)$$
wzór na deltę brzmi:
$$\Delta = b^2 – 4ac.$$
Omówienie wzoru \(\Delta = b^2 – 4ac\)
- \(b^2\) – kwadrat współczynnika przy \(x\),
- \(4ac\) – czterokrotność iloczynu współczynników \(a\) (przy \(x^2\)) i \(c\) (wyraz wolny),
- \(\Delta\) – liczba, którą otrzymujemy po wstawieniu konkretnych wartości \(a, b, c\).
Delta może być:
- dodatnia: \(\Delta > 0\),
- równa zero: \(\Delta = 0\),
- ujemna: \(\Delta < 0\).
Każda z tych sytuacji ma inne znaczenie dla rozwiązań równania kwadratowego.
Delta a liczba rozwiązań równania kwadratowego
Kluczowa informacja: wartość delty mówi nam, ile równanie kwadratowe ma pierwiastków rzeczywistych.
| Wartość delty \(\Delta\) | Liczba pierwiastków rzeczywistych | Opis graficzny (parabola a oś \(Ox\)) |
|---|---|---|
| \(\Delta < 0\) | Brak pierwiastków rzeczywistych | Parabola nie przecina osi \(Ox\) |
| \(\Delta = 0\) | Jeden pierwiastek podwójny | Parabola jest styczna do osi \(Ox\) |
| \(\Delta > 0\) | Dwa różne pierwiastki rzeczywiste | Parabola przecina oś \(Ox\) w dwóch punktach |
Wzory na pierwiastki z wykorzystaniem delty
Gdy obliczymy deltę, możemy policzyć pierwiastki równania kwadratowego. Wzory zależą od znaku delty.
Przypadek 1: \(\Delta > 0\) – dwa pierwiastki
Jeśli \(\Delta > 0\), to równanie ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste:
$$x_1 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}.$$
Przypadek 2: \(\Delta = 0\) – jeden pierwiastek (podwójny)
Jeśli \(\Delta = 0\), to równanie ma dokładnie jeden pierwiastek (ale „podwójny”):
$$x_0 = \frac{-b}{2a}.$$
Przypadek 3: \(\Delta < 0\) – brak pierwiastków rzeczywistych
Jeśli \(\Delta < 0\), to równanie kwadratowe nie ma pierwiastków rzeczywistych (ma jedynie pierwiastki zespolone – na poziomie szkolnym zwykle się ich nie liczy).
Krok po kroku: obliczanie delty i pierwiastków
Przykład 1: \(\Delta > 0\) – dwa pierwiastki
Rozwiąż równanie:
$$2x^2 – 3x – 2 = 0.$$
Krok 1. Odczytaj współczynniki:
- \(a = 2\),
- \(b = -3\),
- \(c = -2\).
Krok 2. Oblicz deltę ze wzoru \(\Delta = b^2 – 4ac\):
$$\Delta = (-3)^2 – 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25.$$
Mamy \(\Delta = 25 > 0\), więc będą dwa pierwiastki.
Krok 3. Oblicz pierwiastki:
Najpierw \(\sqrt{\Delta} = \sqrt{25} = 5\).
Teraz podstaw do wzorów:
$$x_1 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-3) – 5}{2 \cdot 2} = \frac{3 – 5}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2},$$
$$x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-3) + 5}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2.$$
Odpowiedź: Równanie ma dwa pierwiastki: \(x_1 = -\frac{1}{2}\), \(x_2 = 2\).
Przykład 2: \(\Delta = 0\) – jeden pierwiastek podwójny
Rozwiąż równanie:
$$x^2 – 4x + 4 = 0.$$
Krok 1. Odczytaj współczynniki:
- \(a = 1\),
- \(b = -4\),
- \(c = 4\).
Krok 2. Oblicz deltę:
$$\Delta = (-4)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 – 16 = 0.$$
Krok 3. Oblicz pierwiastek:
Skoro \(\Delta = 0\), to:
$$x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-4)}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2.$$
Odpowiedź: Równanie ma jeden pierwiastek podwójny: \(x = 2\). Parabola dotyka osi \(Ox\) w punkcie \((2, 0)\).
Przykład 3: \(\Delta < 0\) – brak pierwiastków rzeczywistych
Rozwiąż równanie:
$$3x^2 + 2x + 5 = 0.$$
Krok 1. Odczytaj współczynniki:
- \(a = 3\),
- \(b = 2\),
- \(c = 5\).
Krok 2. Oblicz deltę:
$$\Delta = 2^2 – 4 \cdot 3 \cdot 5 = 4 – 60 = -56.$$
Mamy \(\Delta = -56 < 0\).
Wniosek: Równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych (parabola nie przecina osi \(Ox\)).
„Delta a b c” – jak poprawnie podstawiać do wzoru?
Częsty problem uczniów polega na błędnym odczytywaniu współczynników \(a\), \(b\), \(c\) lub na „gubieniu” znaków minus przy podstawianiu. Poniżej kilka wskazówek.
Jak odczytać \(a\), \(b\), \(c\)?
Dla równania zapisanego w postaci ogólnej:
$$ax^2 + bx + c = 0$$
identyfikujemy:
- \(a\) – liczba przed \(x^2\),
- \(b\) – liczba przed \(x\),
- \(c\) – wyraz wolny (bez \(x\)).
Przykład: Dla równania
$$-3x^2 + 5x – 7 = 0$$
mamy:
- \(a = -3\),
- \(b = 5\),
- \(c = -7\).
Najczęstsze błędy przy liczeniu delty
- Zapominanie o nawiasach: zamiast \((-3)^2\) pisane jest \(-3^2\), co daje inny wynik.
- Gubienie znaków: np. w części \(-4ac\) ktoś zapisuje \(+4ac\) albo odwrotnie.
- Zamiana ról \(a\), \(b\), \(c\): np. mylenie \(\,b\) z \(\,c\).
Aby uniknąć błędów, warto zawsze zapisywać osobno wartości \(a\), \(b\), \(c\) przed obliczaniem delty i używać nawiasów przy liczbach ujemnych.
Graficzna interpretacja delty – proste wykresy
Równanie kwadratowe opisuje parabolę. To, ile rozwiązań ma równanie, zależy od tego, ile punktów wspólnych ma parabola z osią \(Ox\).
- \(\Delta > 0\) – parabola przecina oś \(Ox\) w dwóch punktach,
- \(\Delta = 0\) – parabola jest styczna do osi \(Ox\) (dotyka jej w jednym punkcie),
- \(\Delta < 0\) – parabola nie przecina osi \(Ox\).
Prosty wykres: trzy parabole dla różnych delt
Poniższy prosty, responsywny wykres (Chart.js) pokazuje trzy przykładowe funkcje kwadratowe:
- \(y = x^2 – 1\) – \(\Delta > 0\) (dwa przecięcia z osią \(Ox\)),
- \(y = x^2\) – \(\Delta = 0\) (styczność w punkcie \(0\)),
- \(y = x^2 + 1\) – \(\Delta < 0\) (brak przecięć z osią \(Ox\)).
Prosty kalkulator delty i pierwiastków
Poniższy kalkulator pomoże Ci szybciej zrozumieć obliczanie delty i pierwiastków równania kwadratowego. Wpisz współczynniki \(a\), \(b\), \(c\), a skrypt automatycznie policzy deltę oraz pierwiastki (jeśli istnieją).
Podsumowanie – co warto zapamiętać o delcie?
- Równanie kwadratowe ma postać \(ax^2 + bx + c = 0\), gdzie \(a \neq 0\).
- Wzór na deltę: $$\Delta = b^2 – 4ac.$$
- Interpretacja delty:
- \(\Delta > 0\) – dwa różne pierwiastki rzeczywiste,
- \(\Delta = 0\) – jeden pierwiastek podwójny,
- \(\Delta < 0\) – brak pierwiastków rzeczywistych.
- Wzory na pierwiastki gdy \(\Delta \ge 0\):
$$x_1 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a},$$
a gdy \(\Delta = 0\):
$$x_0 = \frac{-b}{2a}.$$ - Delta to nie tylko „suchy wzór”, ale narzędzie, które mówi, jak parabola przecina oś \(Ox\).
Przeczytaj również
Czy magnes przyciąga złoto – odpowiedź i proste wyjaśnienie
Niemniej czy nie mniej – jak zapisać poprawnie?
Geometria analityczna – wzory, tablice, przykłady