Pochodne funkcji – wzory i najważniejsze własności

Pochodne funkcji to jedno z najważniejszych pojęć w analizie matematycznej. Pojawiają się w fizyce (prędkość, przyspieszenie), ekonomii (koszt krańcowy), informatyce (optymalizacja algorytmów) czy inżynierii (zmiany temperatury, napięcia itp.). W tym tekście krok po kroku wyjaśnimy, czym jest pochodna, podamy najważniejsze wzory i własności oraz pokażemy proste przykłady.

Intuicja: co oznacza pochodna funkcji?

Wyobraź sobie wykres funkcji \(y=f(x)\). W dowolnym punkcie wykresu możesz narysować prostą styczną (dotyka wykresu „w jednym punkcie”, nie przecinając go lokalnie). Nachylenie tej stycznej to właśnie pochodna funkcji w tym punkcie.

Można na to patrzeć na dwa sposoby:

• geometrycznie: pochodna to nachylenie stycznej do wykresu funkcji,
• fizycznie: pochodna opisuje zmianę wielkości. Na przykład, jeśli \(s(t)\) to droga w funkcji czasu, to pochodna \(s'(t)\) to prędkość w chwili \(t\).

Jeżeli pochodna jest dodatnia, funkcja w tym miejscu rośnie; jeżeli ujemna – maleje. Im większa wartość bezwzględna pochodnej, tym „bardziej stromy” wykres.

Definicja pochodnej funkcji

Formalnie pochodną funkcji w punkcie definiujemy za pomocą granicy. Niech \(f\) będzie funkcją jednej zmiennej rzeczywistej, a \(x_0\) – wybranym punktem. Pochodna funkcji \(f\) w punkcie \(x_0\) (oznaczana \(f'(x_0)\)) to:

\[
f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h},
\]

o ile taka granica istnieje.

Ułamek
\[\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\]
nazywamy ilorazem różnicowym. Możesz myśleć o nim jako o średnim tempie zmian funkcji na przedziale od \(x_0\) do \(x_0+h\). Pochodna to granica tego ułamka, gdy „zawężamy” przedział, czyli gdy \(h\) dąży do zera.

Najczęstsze oznaczenia pochodnych

• \(f'(x)\) – „f prim z x”,
• \(\dfrac{df}{dx}\) – „d f po d x”,
• \(\dfrac{dy}{dx}\), jeśli \(y=f(x)\),
• \(y’\) – gdy wiadomo, że \(y\) jest funkcją \(x\).

Podstawowe wzory na pochodne

W praktyce bardzo rzadko liczymy pochodne z definicji. Zamiast tego korzystamy z gotowych wzorów na pochodne i zasad obliczania pochodnych. Poniżej tabela z najważniejszymi wzorami.

Tabela: podstawowe wzory pochodnych

Funkcja \(f(x)\)	Pochodna \(f'(x)\)	Uwagi
\(c\) (stała)	\(0\)	Funkcja stała się nie zmienia.
\(x\)	\(1\)	Nachylenie prostej \(y=x\) wynosi 1.
\(x^n\)	\(n x^{n-1}\)	Wzór potęgowy (dla całkowitych \(n\), a szerzej także dla wielu rzeczywistych \(n\)).
\(a x + b\)	\(a\)	Pochodna prostej to jej współczynnik kierunkowy.
\(e^x\)	\(e^x\)	Jedyna (do stałego mnożnika) funkcja równa swojej pochodnej.
\(a^x\) (\(a>0,\ a\neq 1\))	\(a^x\ln a\)	\(\ln a\) to logarytm naturalny z \(a\).
\(\ln x\)	\(\dfrac{1}{x}\)	Dziedzina: \(x>0\).
\(\log_a x\)	\(\dfrac{1}{x\ln a}\)	\(a>0,\ a\neq 1,\ x>0\).
\(\sin x\)	\(\cos x\)	Kąty w radianach.
\(\cos x\)	\(-\sin x\)	Znak minus jest ważny.
\(\tan x\)	\(\dfrac{1}{\cos^2 x}\)	Równoważnie: \(1+\tan^2 x\).

Zasady obliczania pochodnych (własności rachunkowe)

Poza znajomością podstawowych pochodnych musimy umieć różniczkować suma, iloczyn, iloraz czy złożenie funkcji. Poniżej najważniejsze reguły.

Liniowość pochodnej (suma i mnożenie przez stałą)

Jeżeli \(f\) i \(g\) są różniczkowalne, a \(a,b\) to stałe, to:

\[
(af(x)+bg(x))’ = a f'(x) + b g'(x).
\]

W szczególności:

• \((f(x)+g(x))’=f'(x)+g'(x)\),
• \((c\cdot f(x))’=c\cdot f'(x)\) dla stałej \(c\).

Iloczyn: reguła Leibniza

Jeżeli \(h(x)=f(x)\cdot g(x)\), to:

\[
h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).
\]

Czyli „pochodna pierwszego razy drugi plus pierwszy razy pochodna drugiego”.

Iloraz funkcji

Jeżeli \(h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}\) i \(g(x)\neq 0\), to:

\[
h'(x)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}.
\]

Czyli „pochodna licznika razy mianownik minus licznik razy pochodna mianownika, wszystko przez mianownik do kwadratu”.

Reguła łańcuchowa (pochodna funkcji złożonej)

Jeśli mamy złożenie funkcji: \(y=f(u)\) oraz \(u=g(x)\), czyli \(y=f(g(x))\), to:

\[
\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}.
\]

Zapis w standardowej notacji:

\[
\big(f(g(x))\big)’ = f’\big(g(x)\big)\cdot g'(x).
\]

Ta zasada jest kluczowa np. dla funkcji typu \(\sin(3x)\), \(\ln(2x+1)\), \(\sqrt{5x-2}\) itp.

Przykłady obliczania pochodnych krok po kroku

Przykład 1: prosta funkcja wielomianowa

Policzmy pochodną funkcji:

\[
f(x)=3x^2-5x+7.
\]

Używamy liniowości i wzoru na pochodną potęgi:

1. \((3x^2)’ = 3\cdot (x^2)’ = 3\cdot 2x = 6x\),
2. \((-5x)’ = -5\cdot (x)’ = -5\cdot 1=-5\),
3. \((7)’ = 0\).

Zatem:

\[
f'(x)=6x-5.
\]

Przykład 2: funkcja wymierna

Niech:

\[
f(x)=\frac{2x^2+1}{x}.
\]

Możemy policzyć pochodną na dwa sposoby.

Sposób A: przepisanie do postaci potęgowej

\[
f(x)=\frac{2x^2+1}{x}=2x+\frac{1}{x}=2x+x^{-1}.
\]

Teraz różniczkujemy:

• \((2x)’=2\),
• \((x^{-1})’=-1\cdot x^{-2}=-x^{-2}=-\dfrac{1}{x^2}.\)

Stąd:

\[
f'(x)=2-\frac{1}{x^2}.
\]

Sposób B: wzór na pochodną ilorazu

Podstawiamy do wzoru na pochodną ilorazu:

\[
f(x)=\frac{u(x)}{v(x)},\quad u(x)=2x^2+1,\ v(x)=x.
\]

Wtedy:

• \(u'(x)=4x\),
• \(v'(x)=1\).

\[
f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}=\frac{4x\cdot x-(2x^2+1)\cdot 1}{x^2}=\frac{4x^2-2x^2-1}{x^2}=\frac{2x^2-1}{x^2}=2-\frac{1}{x^2}.
\]

Otrzymujemy ten sam wynik.

Przykład 3: funkcja złożona – reguła łańcuchowa

Policzmy pochodną funkcji:

\[
f(x)=\sin(3x).
\]

Traktujemy to jako złożenie:

• \(u=3x\),
• \(f(x)=\sin(u)\).

Wiemy, że \((\sin u)’=\cos u\) oraz \((3x)’=3\). Zatem:

\[
f'(x)=\cos(3x)\cdot 3 = 3\cos(3x).
\]

Przykład 4: pochodna logarytmu z funkcji liniowej

Niech:

\[
f(x)=\ln(2x+1).
\]

Znów mamy funkcję złożoną:

• \(u=2x+1\),
• \(f(x)=\ln u\).

Pochodna logarytmu: \((\ln u)’=\dfrac{1}{u}\). Pochodna funkcji wewnętrznej: \(u'(x)=(2x+1)’=2\). Zatem:

\[
f'(x)=\frac{1}{2x+1}\cdot 2=\frac{2}{2x+1}.
\]

Pochodna a monotoniczność funkcji

Pochodna pozwala odczytać, gdzie funkcja rośnie, a gdzie maleje.

• Jeżeli dla wszystkich \(x\) z danego przedziału mamy \(f'(x)>0\), to funkcja rośnie na tym przedziale.
• Jeżeli dla wszystkich \(x\) z danego przedziału mamy \(f'(x)<0\), to funkcja maleje na tym przedziale.
• Jeżeli \(f'(x)=0\) w pewnym punkcie, to jest to kandydat na ekstremum lokalne (minimum lub maksimum).

Przykład: badanie zmienności funkcji kwadratowej

Rozważmy funkcję:

\[
f(x)=x^2-4x+1.
\]

Najpierw liczymy pochodną:

\[
f'(x)=2x-4.
\]

Znajdujemy miejsca zerowe pochodnej:

\[
2x-4=0 \quad\Rightarrow\quad x=2.
\]

Teraz analizujemy znak pochodnej:

• Dla \(x<2\): weźmy np. \(x=0\). Wtedy \(f'(0)=2\cdot 0-4=-4<0\), więc funkcja maleje dla \(x<2\).
• Dla \(x>2\): weźmy \(x=3\). Wtedy \(f'(3)=2\cdot 3-4=2>0\), więc funkcja rośnie dla \(x>2\).

Wniosek: w punkcie \(x=2\) funkcja zmienia się z malejącej na rosnącą, więc mamy tam minimum lokalne.

Pochodna a styczna do wykresu

Jeżeli funkcja \(y=f(x)\) jest różniczkowalna w punkcie \(x_0\), to równanie stycznej do wykresu funkcji w punkcie \((x_0,f(x_0))\) ma postać:

\[
y = f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0).
\]

Przykład: równanie stycznej

Niech \(f(x)=x^2\). Chcemy znaleźć równanie stycznej w punkcie \(x_0=1\).

1. Liczymy pochodną: \(f'(x)=2x\).
2. Obliczamy wartość funkcji i pochodnej w punkcie \(x_0=1\):

• \(f(1)=1^2=1\),
• \(f'(1)=2\cdot 1=2\).

Podstawiamy do wzoru na styczną:

\[
y=2(x-1)+1=2x-2+1=2x-1.
\]

Czyli prosta styczna ma równanie \(y=2x-1\).

Interpretacja fizyczna: prędkość i przyspieszenie

Jeżeli funkcja \(s(t)\) opisuje położenie punktu (np. droga w metrach) w funkcji czasu \(t\) (np. w sekundach), to:

• \(s'(t)\) – prędkość chwilowa,
• \(s”(t)\) – przyspieszenie chwilowe (pochodna prędkości).

Przykład

Niech:

\[
s(t)=5t^2+2t.
\]

Wtedy:

• Prędkość: \[v(t)=s'(t)=(5t^2)’ + (2t)’=10t+2.\]
• Przyspieszenie: \[a(t)=v'(t)=(10t+2)’=10.\]

Interpretacja: ruch odbywa się z stałym przyspieszeniem równym \(10\) (np. m/s\(^2\), zależnie od jednostek).

Prosty kalkulator pochodnej funkcji kwadratowej w punkcie

Poniżej znajduje się prosty kalkulator pokazujący, jak obliczyć wartość pochodnej funkcji kwadratowej w danym punkcie. Dla funkcji:

\[
f(x)=ax^2+bx+c
\]

pochodna wynosi:

\[
f'(x)=2ax+b.
\]

Wartość pochodnej w punkcie \(x_0\) to po prostu:

\[
f'(x_0)=2a x_0 + b.
\]

Kalkulator: pochodna funkcji kwadratowej w punkcie

Podsumowanie: najważniejsze fakty o pochodnych

• Pochodna opisuje tempo zmian funkcji w punkcie (nachylenie stycznej).
• Definicja pochodnej opiera się na granicy ilorazu różnicowego.
• W praktyce korzystamy głównie z tabeli wzorów pochodnych oraz zasad rachunkowych (liniowość, iloczyn, iloraz, reguła łańcuchowa).
• Pochodna informuje o tym, gdzie funkcja rośnie, a gdzie maleje, oraz pomaga znaleźć ekstrema lokalne.
• Pochodna ma ważną interpretację fizyczną: prędkość, przyspieszenie, natężenie zmian wielkości w czasie.
• Znajomość pochodnych jest podstawą do dalszej nauki analiz, w tym całek, szeregów i równań różniczkowych.