Kiedy mówimy, że liczba jest podzielna przez 6, mamy na myśli sytuację, w której dzielenie tej liczby przez 6 daje wynik bez reszty. W tym artykule wyjaśnimy krok po kroku, jak rozpoznać takie liczby bez użycia kalkulatora, jakie są zasady podzielności przez 6, oraz przećwiczymy to na wielu przykładach. Dodamy też prosty kalkulator podzielności przez 6, który pomoże Ci sprawdzić własne liczby.
Co znaczy „liczba podzielna przez 6”?
W matematyce mówimy, że liczba całkowita \(n\) jest podzielna przez 6, jeśli istnieje taka liczba całkowita \(k\), że:
\[ n = 6 \cdot k \]
Inaczej mówiąc, gdy dzielimy \(n\) przez 6, nie pojawia się reszta:
\[ \frac{n}{6} \text{ jest liczbą całkowitą.} \]
Przykłady:
- \(12\) jest podzielne przez \(6\), bo \(12 = 6 \cdot 2\).
- \(24\) jest podzielne przez \(6\), bo \(24 = 6 \cdot 4\).
- \(25\) nie jest podzielne przez \(6\), bo \(\frac{25}{6} = 4{,}1666…\) (mamy część ułamkową).
Najważniejsza zasada podzielności przez 6
Liczba jest podzielna przez 6 wtedy i tylko wtedy, gdy:
- jest podzielna przez \(2\) oraz
- jest podzielna przez \(3\).
Możemy to zapisać za pomocą symboli dzielenia:
\[ 6 \mid n \quad \Leftrightarrow \quad 2 \mid n \ \text{ i } \ 3 \mid n \]
Symbole:
- \(a \mid b\) czytamy: „\(a\) dzieli \(b\)” lub „\(b\) jest podzielne przez \(a\)”.
- \(6 \mid n\) oznacza: „\(n\) jest podzielne przez 6”.
Dlaczego właśnie tak? Krótkie wyjaśnienie
Liczba \(6\) jest iloczynem liczb \(2\) i \(3\):
\[ 6 = 2 \cdot 3 \]
Jeśli jakaś liczba \(n\) ma w swoim „rozkładzie na czynniki” i \(2\), i \(3\), to ma też \(6\). Dlatego warunkiem podzielności przez 6 jest jednocześnie:
- podzielność przez \(2\) – czyli liczba jest parzysta,
- podzielność przez \(3\) – czyli suma jej cyfr jest podzielna przez 3.
Przypomnienie: zasada podzielności przez 2
Liczba jest podzielna przez \(2\), jeśli jest parzysta. W praktyce oznacza to, że jej ostatnia cyfra (cyfra jedności) jest jedną z następujących:
\[ 0,\ 2,\ 4,\ 6,\ 8 \]
Przykłady:
- \(18\) – ostatnia cyfra to \(8\), liczba parzysta, więc jest podzielna przez \(2\).
- \(37\) – ostatnia cyfra to \(7\), liczba nieparzysta, więc nie jest podzielna przez \(2\).
Przypomnienie: zasada podzielności przez 3
Liczba jest podzielna przez \(3\), jeśli suma jej cyfr jest podzielna przez \(3\).
Przykłady:
- \(123\): suma cyfr \(1 + 2 + 3 = 6\). Liczba \(6\) jest podzielna przez \(3\), więc \(123\) jest podzielne przez \(3\).
- \(145\): suma cyfr \(1 + 4 + 5 = 10\). Liczba \(10\) nie jest podzielna przez \(3\), więc \(145\) nie jest podzielne przez \(3\).
Zasady podzielności przez 6 – ujęcie praktyczne
Możemy teraz połączyć oba powyższe kryteria. Liczba jest podzielna przez 6, jeśli:
- Jest parzysta – jej ostatnia cyfra to \(0, 2, 4, 6\) lub \(8\).
- Suma jej cyfr jest podzielna przez 3.
Zapiszmy to jako prosty algorytm:
\[\text{Liczba } n \text{ jest podzielna przez 6} \iff \begin{cases} n \text{ jest parzysta} \\ \text{suma cyfr } n \text{ jest podzielna przez 3} \end{cases}\]
Krok po kroku: jak sprawdzić podzielność przez 6?
Weźmy dowolną liczbę i wykonajmy następujące kroki:
- Krok 1 – sprawdź parzystość:
Zobacz ostatnią cyfrę liczby. Jeśli to jedna z cyfr \(0, 2, 4, 6, 8\) – liczba jest parzysta. Jeśli nie – liczba nie jest podzielna przez 6. - Krok 2 – oblicz sumę cyfr:
Dodaj wszystkie cyfry liczby. - Krok 3 – sprawdź sumę cyfr:
Zobacz, czy suma cyfr jest podzielna przez \(3\). Jeśli tak – liczba jest podzielna przez \(3\). - Krok 4 – połącz wyniki:
Jeśli liczba spełnia oba warunki (parzysta i suma cyfr podzielna przez 3) – jest podzielna przez 6. W przeciwnym razie – nie jest.
Przykłady podzielności przez 6 – dokładne rozwiązania
Przykład 1: liczba 18
- Ostatnia cyfra: \(8\) – liczba jest parzysta, więc podzielna przez \(2\).
- Suma cyfr: \(1 + 8 = 9\).
- \(9\) jest podzielne przez \(3\), więc \(18\) jest podzielne przez \(3\).
- Liczba jest podzielna jednocześnie przez \(2\) i \(3\), więc:
\[ 18 \text{ jest podzielne przez } 6. \]
Przykład 2: liczba 24
- Ostatnia cyfra: \(4\) – liczba parzysta.
- Suma cyfr: \(2 + 4 = 6\).
- \(6\) jest podzielne przez \(3\).
- Zatem:
\[ 24 \text{ jest podzielne przez } 6. \]
Przykład 3: liczba 30
- Ostatnia cyfra: \(0\) – liczba parzysta.
- Suma cyfr: \(3 + 0 = 3\).
- \(3\) jest podzielne przez \(3\).
- Wniosek:
\[ 30 \text{ jest podzielne przez } 6. \]
Przykład 4: liczba 32
- Ostatnia cyfra: \(2\) – liczba parzysta.
- Suma cyfr: \(3 + 2 = 5\).
- \(5\) nie jest podzielne przez \(3\).
- Liczba jest podzielna przez \(2\), ale nie przez \(3\), więc:
\[ 32 \text{ nie jest podzielne przez } 6. \]
Przykład 5: liczba 45
- Ostatnia cyfra: \(5\) – liczba nieparzysta.
- Suma cyfr: \(4 + 5 = 9\) – jest podzielne przez \(3\).
- Liczba jest podzielna przez \(3\), ale nie przez \(2\), więc:
\[ 45 \text{ nie jest podzielne przez } 6. \]
Przykład 6: liczba 126
- Ostatnia cyfra: \(6\) – liczba parzysta.
- Suma cyfr: \(1 + 2 + 6 = 9\).
- \(9\) jest podzielne przez \(3\).
- Spełnione oba warunki, więc:
\[ 126 \text{ jest podzielne przez } 6. \]
Tabela: liczby od 1 do 30 a podzielność przez 2, 3 i 6
Poniższa tabela pokazuje, jak wyglądają cechy liczb podzielnych przez 6 na przykładzie liczb od 1 do 30.
| Liczba | Podzielna przez 2? | Podzielna przez 3? | Podzielna przez 6? |
|---|---|---|---|
| 1 | nie | nie | nie |
| 2 | tak | nie | nie |
| 3 | nie | tak | nie |
| 4 | tak | nie | nie |
| 5 | nie | nie | nie |
| 6 | tak | tak | tak |
| 7 | nie | nie | nie |
| 8 | tak | nie | nie |
| 9 | nie | tak | nie |
| 10 | tak | nie | nie |
| 11 | nie | nie | nie |
| 12 | tak | tak | tak |
| 13 | nie | nie | nie |
| 14 | tak | nie | nie |
| 15 | nie | tak | nie |
| 16 | tak | nie | nie |
| 17 | nie | nie | nie |
| 18 | tak | tak | tak |
| 19 | nie | nie | nie |
| 20 | tak | nie | nie |
| 21 | nie | tak | nie |
| 22 | tak | nie | nie |
| 23 | nie | nie | nie |
| 24 | tak | tak | tak |
| 25 | nie | nie | nie |
| 26 | tak | nie | nie |
| 27 | nie | tak | nie |
| 28 | tak | nie | nie |
| 29 | nie | nie | nie |
| 30 | tak | tak | tak |
Zauważ, że „tak” w ostatniej kolumnie pojawia się dokładnie wtedy, gdy w dwóch poprzednich kolumnach mamy jednocześnie „tak”. To bezpośrednie potwierdzenie zasady:
\[ 6 \mid n \iff 2 \mid n \text{ i } 3 \mid n. \]
Lista pierwszych liczb podzielnych przez 6
Dla lepszego wyobrażenia warto wypisać kilka pierwszych liczb, które są podzielne przez 6. Są to po prostu kolejne wielokrotności liczby 6:
\[ 6,\ 12,\ 18,\ 24,\ 30,\ 36,\ 42,\ 48,\ 54,\ 60,\ 66,\ 72,\ 78,\ 84,\ 90,\dots \]
Każdą z nich można zapisać jako:
\[ 6 \cdot 1,\ 6 \cdot 2,\ 6 \cdot 3,\ 6 \cdot 4,\ 6 \cdot 5,\dots \]
Jak samodzielnie trenować sprawdzanie podzielności przez 6?
Prosty sposób na naukę:
- Wybierz kilka liczb (np. z dziennika, numerów domu, numerów telefonów – bez kierunkowych).
- Dla każdej liczby:
- Sprawdź, czy jest parzysta.
- Policz sumę jej cyfr.
- Sprawdź, czy suma jest podzielna przez 3.
- Zapisz wnioski: „TAK/NIE – liczba jest (nie)podzielna przez 6”.
- Na koniec możesz potwierdzić wynik na kalkulatorze lub skorzystać z prostego kalkulatora poniżej.
Prosty kalkulator podzielności przez 6 (JavaScript)
Poniższy kalkulator pomoże Ci szybko sprawdzić, czy dana liczba jest podzielna przez 6, a także pokaże krok po kroku, dlaczego tak (lub dlaczego nie).
Podsumowanie – najważniejsze wnioski
- Liczba podzielna przez 6 to taka, którą można przedstawić jako \(6 \cdot k\), gdzie \(k\) jest liczbą całkowitą.
- Warunek podzielności przez 6:
\[ 6 \mid n \iff 2 \mid n \text{ i } 3 \mid n. \] - Żeby sprawdzić podzielność przez 6, wystarczy:
- sprawdzić parzystość liczby (zasada podzielności przez 2),
- sprawdzić podzielność sumy jej cyfr przez 3.
- Liczby podzielne przez 6 to kolejne wielokrotności: \(6, 12, 18, 24, 30, \dots\).
- Po przećwiczeniu kilku przykładów zasada staje się bardzo szybka i wygodna w użyciu – często nie trzeba już w ogóle dzielić „pisemnie”.
Przeczytaj również
Ile to jest tuzin – znaczenie i historia tej miary
Megawatogodzina ile to jest kilowatów – przelicznik jednostek energii
Czym jest mediana – definicja i sposób obliczania