Geometria analityczna – wzory, tablice, przykłady

Geometria analityczna łączy geometrię z algebrą. Zamiast rysować „na oko”, opisujemy punkty, proste, odległości i figury za pomocą równań i współrzędnych. Dzięki temu możemy liczyć dokładnie: długości, kąty, pola, położenie figur względem siebie.

Układ współrzędnych i punkt

Podstawą geometrii analitycznej jest układ współrzędnych Kartezjusza: dwie prostopadłe osie: pozioma \(x\) i pionowa \(y\), które przecinają się w punkcie \(O = (0,0)\) – nazywanym początkiem układu współrzędnych.

Każdy punkt w tym układzie opisujemy parą liczb \((x,y)\):

\(x\) – współrzędna na osi poziomej (w prawo – dodatnie, w lewo – ujemne),
\(y\) – współrzędna na osi pionowej (w górę – dodatnie, w dół – ujemne).

Przykład: Punkt \(A = (3,2)\) leży 3 jednostki w prawo i 2 jednostki w górę od początku układu.

Wektor w geometrii analitycznej

Wektor w płaszczyźnie można zapisać jako uporządkowaną parę liczb:

\[\vec{v} = (v_x, v_y)\]

Jeśli znamy punkt początkowy \(A(x_1, y_1)\) i końcowy \(B(x_2, y_2)\), to wektor \(\vec{AB}\) ma współrzędne:

\[\vec{AB} = (x_2 – x_1,\; y_2 – y_1)\]

Przykład: \(A = (1,2)\), \(B = (5, -1)\). Wtedy:

\[\vec{AB} = (5-1,\; -1-2) = (4,\; -3)\]

Długość wektora (moduł)

Długość wektora \(\vec{v} = (v_x, v_y)\) liczymy z twierdzenia Pitagorasa:

\[|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}\]

Przykład: \(\vec{v} = (3,4)\)

\[|\vec{v}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\]

Podstawowe wzory w geometrii analitycznej (tablica)

Temat	Wzór	Opis
Długość odcinka \(AB\)	\(\|AB\| = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}\)	Odległość między punktami \(A(x_1,y_1)\), \(B(x_2,y_2)\)
Środek odcinka \(AB\)	\(S = \left(\dfrac{x_1 + x_2}{2},\; \dfrac{y_1 + y_2}{2}\right)\)	Punkt dokładnie „w połowie” między \(A\) i \(B\)
Równanie prostej – ogólne	\(Ax + By + C = 0\)	Najbardziej ogólna postać prostej (nie pionowej i pionowej)
Równanie prostej – kierunkowe	\(y = ax + b\)	Prosta niepionowa; \(a\) – współczynnik kierunkowy, \(b\) – wyraz wolny
Równanie prostej przez punkt \(A(x_0,y_0)\) o kierunku \(a\)	\(y – y_0 = a(x – x_0)\)	Równanie prostej przez zadany punkt o danym nachyleniu
Współczynnik kierunkowy	\(a = \dfrac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1}\) (dla \(x_2 \neq x_1\))	„Stromość” prostej przechodzącej przez \(A\) i \(B\)
Prosto równoległe	\(a_1 = a_2\)	Dwie proste są równoległe, gdy mają ten sam współczynnik kierunkowy
Prosto prostopadłe	\(a_1 \cdot a_2 = -1\)	Współczynniki kierunkowe są odwrotnościami o przeciwnym znaku
Równanie okręgu – postać standardowa	\((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\)	Okrąg o środku \(S(a,b)\) i promieniu \(r\)
Odległość punktu od prostej	\(d = \dfrac{\|Ax_0 + By_0 + C\|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\)	Odległość punktu \(P(x_0,y_0)\) od prostej \(Ax + By + C = 0\)

Długość odcinka między dwoma punktami

Niech mamy dwa punkty:

\[A(x_1, y_1),\quad B(x_2, y_2)\]

Długość odcinka \(AB\) to:

\[|AB| = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}\]

Skąd ten wzór? Różnice współrzędnych:

\(\Delta x = x_2 – x_1\) – „odległość pozioma”,
\(\Delta y = y_2 – y_1\) – „odległość pionowa”.

Tworzy się trójkąt prostokątny o przyprostokątnych \(|\Delta x|\) i \(|\Delta y|\), a przeciwprostokątna to właśnie odcinek \(AB\). Z twierdzenia Pitagorasa:

\[|AB|^2 = (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2\]

\[|AB| = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}\]

Przykład 1 – obliczanie długości odcinka

Dane są punkty \(A = (1,2)\), \(B = (5,5)\). Oblicz długość odcinka \(AB\).

Rozwiązanie krok po kroku:

Wyznacz różnice współrzędnych:
\[
\Delta x = x_2 – x_1 = 5 – 1 = 4,\quad \Delta y = y_2 – y_1 = 5 – 2 = 3
\]
Podstaw do wzoru:
\[
|AB| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5
\]

Długość odcinka \(AB\) wynosi \(5\).

Środek odcinka

Środek odcinka \(AB\) to punkt leżący dokładnie w połowie drogi między \(A(x_1, y_1)\) a \(B(x_2, y_2)\). Jego współrzędne to średnie arytmetyczne współrzędnych końców:

\[S = \left(\frac{x_1 + x_2}{2},\; \frac{y_1 + y_2}{2}\right)\]

Przykład 2 – środek odcinka

Dane: \(A = (-2,4)\), \(B = (6,0)\). Znajdź środek odcinka \(AB\).

Policz średnią współrzędnych \(x\):
\[
x_S = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2
\]
Policz średnią współrzędnych \(y\):
\[
y_S = \frac{4 + 0}{2} = \frac{4}{2} = 2
\]

Środek odcinka to \(S = (2,2)\).

Prosty kalkulator długości odcinka i środka

Poniżej prosty kalkulator w JavaScript, który (na podstawowym poziomie) pomoże Ci obliczyć długość odcinka i środek między dwoma punktami w geometrii analitycznej.

Kalkulator długości odcinka i środka

x₁:
y₁:
x₂:
y₂:

Prosta w układzie współrzędnych

Równanie prostej – postać kierunkowa

Najczęściej w szkole używana postać równania prostej to:

\[y = ax + b\]

Co oznaczają parametry?

\(a\) – współczynnik kierunkowy (nachylenie prostej),
- jeśli \(a > 0\) – prosta „idzie w górę” w prawo,
- jeśli \(a < 0\) – prosta „idzie w dół” w prawo,
- jeśli \(a = 0\) – prosta pozioma.
\(b\) – wyraz wolny, punkt przecięcia z osią \(y\) (dla \(x=0\), mamy \(y=b\)).

Jak znaleźć równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty?

Niech prosta przechodzi przez punkty \(A(x_1, y_1)\) i \(B(x_2, y_2)\), gdzie \(x_1 \neq x_2\).

Najpierw obliczamy współczynnik kierunkowy \(a\):
\[
a = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1}
\]
Podstawiamy \(a\) oraz współrzędne jednego z punktów do wzoru:
\[
y – y_1 = a(x – x_1)
\]
To już jest równanie prostej (postać punktowo–kierunkowa).
Możemy przekształcić do postaci \(y = ax + b\), jeśli jest to wymagane.

Przykład 3 – równanie prostej przez dwa punkty

Znajdź równanie prostej przechodzącej przez punkty \(A = (1,2)\) i \(B = (3,6)\).

Obliczamy współczynnik kierunkowy:
\[
a = \frac{6 – 2}{3 – 1} = \frac{4}{2} = 2
\]
Korzystamy z postaci punktowo–kierunkowej dla punktu \(A\):
\[
y – 2 = 2(x – 1)
\]
Przekształcamy:
\[
y – 2 = 2x – 2 \quad \Rightarrow \quad y = 2x
\]

Równanie prostej: \(y = 2x\).

Prosta pionowa

Prosta pionowa ma równanie:

\[x = x_0\]

Nie można jej zapisać w postaci \(y = ax + b\), ponieważ wtedy każdy punkt miałby różne \(x\), a dla prostej pionowej wszystkie punkty mają ten sam współrzędny \(x\).

Równania prostych – położenie wzajemne

Niech mamy dwie proste:

\[y = a_1 x + b_1,\quad y = a_2 x + b_2\]

Proste równoległe, jeśli:
\[
a_1 = a_2 \quad\text{i}\quad b_1 \neq b_2
\]
Proste prostopadłe, jeśli:
\[
a_1 \cdot a_2 = -1
\]
Ta sama prosta, jeśli:
\[
a_1 = a_2 \quad\text{i}\quad b_1 = b_2
\]
Przecinające się pod innym kątem – gdy \(a_1 \neq a_2\) i nie zachodzi \(a_1 a_2 = -1\).

Przykład 4 – sprawdzenie równoległości i prostopadłości

Sprawdź, czy proste są równoległe/prostopadłe:

\(l_1: y = 3x + 1\), \(l_2: y = 3x – 5\)
\(p_1: y = -\frac{1}{2}x + 4\), \(p_2: y = 2x – 1\)

Ad 1. \(a_1 = 3\), \(a_2 = 3\) → \(a_1 = a_2\), \(b_1 \neq b_2\) → proste równoległe.

Ad 2. \(a_1 = -\frac{1}{2}\), \(a_2 = 2\) →

\[
a_1 \cdot a_2 = -\frac{1}{2} \cdot 2 = -1
\]

Proste są prostopadłe.

Równanie okręgu

Okrąg o środku \(S(a,b)\) i promieniu \(r\) opisujemy równaniem:

\[(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\]

Znów korzystamy z odległości punktu od środka: każdy punkt \(P(x,y)\) na okręgu jest dokładnie w odległości \(r\) od środka \(S(a,b)\):

\[\sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2} = r\]

Podnosząc obie strony do kwadratu, otrzymujemy równanie okręgu.

Przykład 5 – zapisywanie równania okręgu

Podaj równanie okręgu o środku \(S = (2,-1)\) i promieniu \(r = 3\).

\[
(x – 2)^2 + (y + 1)^2 = 3^2 = 9
\]

Odległość punktu od prostej

Niech prosta ma równanie ogólne:

\[Ax + By + C = 0\]

a dany jest punkt \(P(x_0, y_0)\). Wtedy odległość punktu od prostej wynosi:

\[
d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}
\]

W liczniku liczymy wartość bezwzględną z „podstawienia punktu do równania prostej”, a w mianowniku długość wektora normalnego \((A,B)\).

Przykład 6 – odległość punktu od prostej

Oblicz odległość punktu \(P = (1,2)\) od prostej \(2x – 3y + 6 = 0\).

Podstawiamy:
\[
|2\cdot 1 – 3\cdot 2 + 6| = |2 – 6 + 6| = |2| = 2
\]
Liczymy mianownik:
\[
\sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}
\]

Ostatecznie:

\[
d = \frac{2}{\sqrt{13}}
\]

Geometria analityczna w praktyce – przykłady zastosowań

Fizyka: opisy ruchu (trajektorie punktów), równania prostoliniowego ruchu jednostajnego i przyspieszonego.
Informatyka i grafika komputerowa: wyznaczanie odległości między obiektami, kolizje, śledzenie ruchu na ekranie.
Inżynieria: projektowanie elementów konstrukcyjnych, wyznaczanie położeń punktów konstrukcyjnych, siatek pomiarowych.
Nawigacja i geolokalizacja: obliczanie odległości między punktami na mapie (po przeliczeniu na odpowiednie współrzędne).

Podsumowanie i „mini tablice” geometrii analitycznej

Poniżej zebrane najważniejsze wzory z geometrii analitycznej w prostej, „kieszonkowej” wersji.

Problem	Wzór
Odległość dwóch punktów \(A(x_1,y_1)\), \(B(x_2,y_2)\)	\(\|AB\| = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}\)
Środek odcinka \(AB\)	\(S = \left(\dfrac{x_1 + x_2}{2},\; \dfrac{y_1 + y_2}{2}\right)\)
Wektor \(\vec{AB}\)	\(\vec{AB} = (x_2 – x_1,\; y_2 – y_1)\)
Długość wektora \((v_x, v_y)\)	\(\|\vec{v}\| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}\)
Współczynnik kierunkowy prostej przez \(A\), \(B\)	\(a = \dfrac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1}\) (dla \(x_2 \neq x_1\))
Równanie prostej przez punkt \(A(x_0,y_0)\) o kierunku \(a\)	\(y – y_0 = a(x – x_0)\)
Równanie prostej w postaci kierunkowej	\(y = ax + b\)
Równanie prostej pionowej	\(x = x_0\)
Równanie okręgu	\((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\)
Odległość punktu od prostej \(Ax+By+C=0\)	\(d = \dfrac{\|Ax_0 + By_0 + C\|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\)
Proste równoległe	\(a_1 = a_2\)
Proste prostopadłe	\(a_1 \cdot a_2 = -1\)

Dzięki tym podstawowym wzorom i przykładom możesz rozwiązać większość typowych zadań z geometrii analitycznej na poziomie szkoły średniej: obliczać długości, środki odcinków, równania prostych i okręgów oraz badać wzajemne położenie prostych.