Czym jest mediana – definicja i sposób obliczania

Mediana to jedno z podstawowych pojęć w statystyce opisowej. Jest to miara położenia, która pomaga odpowiedzieć na pytanie: „Jaka jest „środkowa” wartość w zbiorze danych?”. W przeciwieństwie do średniej arytmetycznej mediana jest odporna na skrajne wartości (tzw. wartości odstające), dlatego bardzo często używa się jej w analizie danych w praktyce.

Co to jest mediana? Intuicyjna definicja

Wyobraź sobie, że masz kilka liczb i ustawiasz je w kolejności od najmniejszej do największej. Mediana to liczba, która znajduje się dokładnie w środku tego uporządkowanego ciągu.

Formalna definicja mediany:

Niech mamy zbiór danych złożony z \( n \) liczb (obserwacji), po uporządkowaniu rosnąco:

\[ x_{(1)}, x_{(2)}, x_{(3)}, \dots, x_{(n)} \]

Jeżeli liczba obserwacji \( n \) jest nieparzysta, mediana to wartość środkowa:

\[ \text{Me} = x_{\left(\frac{n+1}{2}\right)} \]

Jeżeli liczba obserwacji \( n \) jest parzysta, mediana to średnia arytmetyczna dwóch środkowych wartości:

\[ \text{Me} = \frac{x_{\left(\frac{n}{2}\right)} + x_{\left(\frac{n}{2} + 1\right)}}{2} \]

W praktyce oznacza to:

gdy masz 5 liczb → wybierasz 3. pozycję po uporządkowaniu,
gdy masz 6 liczb → bierzesz 3. i 4. pozycję po uporządkowaniu i liczysz ich średnią.

Krok po kroku: jak obliczyć medianę?

1. Uporządkuj dane rosnąco

To najważniejszy krok. Mediana zawsze odnosi się do uporządkowanego zbioru danych. Jeżeli liczby są wymieszane, najpierw musisz je posortować od najmniejszej do największej.

2. Sprawdź, ile jest danych (wartości)

Policz, ile elementów ma Twój zbiór. Oznacz tę liczbę przez \( n \).

3. Zastosuj odpowiednią regułę

Jeśli \( n \) jest nieparzyste (np. 5, 7, 9) → mediana to jedna konkretna liczba ze środka.
Jeśli \( n \) jest parzyste (np. 4, 6, 10) → mediana to średnia dwóch środkowych liczb.

Przykłady obliczania mediany

Przykład 1: nieparzysta liczba obserwacji

Weźmy zbiór danych (np. liczba książek przeczytanych w miesiącu przez 7 osób):

\( 2,\ 5,\ 1,\ 0,\ 3,\ 2,\ 4 \)

Krok 1. Porządkujemy dane rosnąco:

\( 0,\ 1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5 \)

Krok 2. Liczymy liczbę obserwacji:

\( n = 7 \) (liczba jest nieparzysta).

Krok 3. Znajdujemy pozycję mediany:

\[ \frac{n+1}{2} = \frac{7+1}{2} = \frac{8}{2} = 4 \]

Mediana to wartość na 4. miejscu w uporządkowanym zbiorze:

\( 0,\ 1,\ 2,\ \boxed{2},\ 3,\ 4,\ 5 \)

Mediana wynosi: \( \text{Me} = 2 \).

Przykład 2: parzysta liczba obserwacji

Weźmy zbiór danych (np. liczba godzin snu w nocy dla 6 osób):

\( 6,\ 7,\ 5,\ 8,\ 6,\ 9 \)

Krok 1. Porządkujemy dane rosnąco:

\( 5,\ 6,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9 \)

Krok 2. Liczymy liczbę obserwacji:

\( n = 6 \) (liczba parzysta).

Krok 3. Znajdujemy dwie środkowe pozycje:

\[ \frac{n}{2} = \frac{6}{2} = 3,\quad \frac{n}{2} + 1 = 4 \]

Środkowe wartości to liczby na 3. i 4. miejscu w uporządkowanym zbiorze:

\( 5,\ 6,\ \boxed{6},\ \boxed{7},\ 8,\ 9 \)

Krok 4. Liczymy ich średnią:

\[ \text{Me} = \frac{6 + 7}{2} = \frac{13}{2} = 6{,}5 \]

Mediana wynosi: \( \text{Me} = 6{,}5 \).

Mediana a średnia arytmetyczna

Często przy analizie danych pojawia się pytanie: „Użyć mediany czy średniej arytmetycznej?”. Warto zrozumieć różnicę.

Średnia arytmetyczna

Średnia arytmetyczna (potocznie „średnia”) to suma wszystkich wartości podzielona przez ich liczbę:

\[ \overline{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} \]

Różnica między medianą a średnią

Średnia arytmetyczna silnie reaguje na wartości skrajne (bardzo duże lub bardzo małe liczby w zbiorze).
Mediana jest na nie odporna – zależy tylko od położenia wartości po uporządkowaniu, a nie od ich wielkości.

Przykład z wartością odstającą

Załóżmy, że analizujemy zarobki 7 osób (w tysiącach złotych):

\( 3,\ 3,\ 4,\ 4,\ 5,\ 5,\ 50 \)

Krok 1. Dane są już uporządkowane.

Krok 2. Obliczamy średnią arytmetyczną:

\[ \overline{x} = \frac{3 + 3 + 4 + 4 + 5 + 5 + 50}{7} = \frac{74}{7} \approx 10{,}57 \]

Średnia sugeruje, że „typowy” zarobek to ok. 10,6 tys. zł, co jest niezgodne z rzeczywistością, bo 6 z 7 osób zarabia 3–5 tys. zł.

Krok 3. Obliczamy medianę:

\( n = 7 \Rightarrow \frac{n+1}{2} = 4 \) — 4. wartość w zbiorze:

\( 3,\ 3,\ 4,\ \boxed{4},\ 5,\ 5,\ 50 \)

\( \text{Me} = 4 \)

Mediana znacznie lepiej opisuje typowy zarobek tej grupy, ponieważ nie „ciągnie” jej w górę jedna bardzo duża wartość (50).

Prosty wykres: średnia vs mediana przy wartości odstającej

Poniżej znajduje się prosty wykres słupkowy pokazujący dane z poprzedniego przykładu oraz zaznaczone wartości średniej i mediany. Wykres jest zrobiony w HTML5 Canvas za pomocą biblioteki Chart.js i jest responsywny (dopasowuje się do szerokości ekranu).

Dlaczego mediana jest ważna w analizie danych?

Mediana ma szczególne znaczenie, gdy:

dane zawierają wartości skrajne (np. jeden bardzo bogaty człowiek w grupie badanych),
dane są asymetryczne (rozłożone nierówno, „ciągną” w jedną stronę),
interesuje nas typowa wartość, a nie „uśrednienie” zniekształcone przez skrajności.

Przykładowe zastosowania mediany:

Statystyki zarobków — często podaje się medianę wynagrodzeń zamiast średniej.
Ceny nieruchomości — mediana ceny mieszkań lepiej opisuje rynek niż średnia (pojedyncze luksusowe apartamenty nie zaburzają wyniku).
Czasy reakcji, wyniki testów — w badaniach psychologicznych lub medycznych mediana bywa bardziej reprezentatywna niż średnia.

Mediana w zbiorze danych: podsumowanie kroków

Dla wygody podsumujmy procedurę obliczania mediany.

Wypisz wszystkie wartości (np. wyniki pomiarów, liczby zadań, zarobki itp.).
Uporządkuj dane rosnąco: od najmniejszej do największej.
Policz liczbę elementów \( n \).
Sprawdź:
- jeśli \( n \) jest nieparzyste: znajdź wartość na pozycji \( \frac{n+1}{2} \) → to jest mediana,
- jeśli \( n \) jest parzyste: znajdź wartości na pozycjach \( \frac{n}{2} \) oraz \( \frac{n}{2}+1 \), oblicz ich średnią → to jest mediana.

Ćwiczenia z mediany (do samodzielnego rozwiązania)

Znajdź medianę zbioru: \( 4,\ 1,\ 7,\ 3,\ 9 \).
Znajdź medianę zbioru: \( 10,\ 2,\ 8,\ 4,\ 6,\ 12 \).
Znajdź medianę ocen: \( 2,\ 3,\ 3,\ 4,\ 4,\ 5,\ 5,\ 6 \).

Spróbuj najpierw rozwiązać je samodzielnie, korzystając z kroków opisanych wcześniej. Potem możesz użyć poniższego prostego kalkulatora, aby sprawdzić swoje odpowiedzi.

Prosty kalkulator mediany (JavaScript)

Poniższy kalkulator pozwala obliczyć medianę dla zbioru liczb podanych przez Ciebie. Wpisz liczby oddzielone przecinkami, np.:

2, 5, 1, 0, 3, 2, 4

Wpisz liczby (oddzielone przecinkami):

Typowe błędy przy obliczaniu mediany

Brak uporządkowania danych — obliczanie mediany z nieposortowanego zbioru to najczęstszy błąd.
Pomyłka w liczeniu pozycji — warto dokładnie sprawdzić, czy liczba elementów jest parzysta, czy nieparzysta.
Mylenie mediany ze średnią arytmetyczną — średnia to suma podzielona przez liczbę elementów, mediana to wartość środkowa po uporządkowaniu.

Podsumowanie: co to jest mediana i jak ją obliczyć?

Mediana to środkowa wartość w uporządkowanym zbiorze danych.
Jest odporna na wartości odstające, dlatego często lepiej opisuje „typową” wartość niż średnia arytmetyczna.
Aby obliczyć medianę:
- uporządkuj dane rosnąco,
- jeśli liczba danych \( n \) jest nieparzysta: weź wartość na pozycji \( \frac{n+1}{2} \),
- jeśli \( n \) jest parzysta: weź średnią z wartości na pozycjach \( \frac{n}{2} \) i \( \frac{n}{2}+1 \).
Mediana jest powszechnie stosowana w statystyce, ekonomii, badaniach społecznych i wszędzie tam, gdzie ważne jest odporne na skrajności opisanie „typowego” wyniku.