Wzór na okres drgań – wyjaśnienie i przykłady z fizyki

Okres drgań to jedno z kluczowych pojęć w fizyce drgań. Pojawia się w zadaniach z mechaniki, fal, akustyki, a nawet w fizyce atomowej. W tym artykule krok po kroku wyjaśnimy, czym jest okres drgań, jaki jest ogólny wzór na okres, jak wyglądają konkretne wzory w typowych układach (wahadło, sprężyna) oraz jak z nich korzystać w zadaniach. Na końcu znajdziesz prosty kalkulator pomagający w obliczeniach.

Co to jest okres drgań?

Wyobraź sobie ciało, które wykonuje ruch tam i z powrotem – np. wahadło zegara, ciężarek na sprężynie lub struna gitary. Taki ruch nazywamy ruchem drgającym. Jedno pełne „tam i z powrotem” to jedno pełne drganie.

Okres drgań oznaczamy zwykle literą \( T \) i definiujemy jako:

\[ T = \text{czas jednego pełnego drgania} \]

Innymi słowy, okres to czas, po którym układ wraca do dokładnie tej samej fazy ruchu (czyli np. do tej samej pozycji i z tym samym kierunkiem ruchu).

Jednostka okresu drgań

Okres jest czasem, więc w układzie SI jego jednostką jest:

\[ [T] = 1\,\text{s} \quad (\text{sekunda}) \]

W zadaniach szkolnych mogą się jednak pojawić także inne jednostki czasu, np. milisekundy (ms) czy minuty, ale ostatecznie warto wszystko przeliczać na sekundy.

Związek okresu z częstotliwością

Z okresem drgań bezpośrednio związana jest częstotliwość drgań, oznaczana literą \( f \). Częstotliwość to liczba pełnych drgań wykonanych w jednostce czasu (zwykle w ciągu 1 sekundy):

\[ f = \frac{N}{t} \]

gdzie:

• \( f \) – częstotliwość drgań,
• \( N \) – liczba drgań,
• \( t \) – czas trwania tych drgań.

Jednostką częstotliwości jest herc:

\[ [f] = 1\,\text{Hz} = 1\,\text{s}^{-1} \]

Podstawowy wzór na okres drgań

Okres i częstotliwość są odwrotnościami siebie:

\[ T = \frac{1}{f} \quad \text{oraz} \quad f = \frac{1}{T} \]

Ten ogólny wzór na okres drgań jest bardzo ważny. Pojawia się w praktycznie każdym zadaniu z drgań, fal, akustyki czy prądu zmiennego.

Przykład 1 – liczenie okresu z częstotliwości

Przykład: Drgania mają częstotliwość \( f = 5\,\text{Hz} \). Oblicz okres drgań.

Rozwiązanie:

\[ T = \frac{1}{f} = \frac{1}{5\,\text{Hz}} = 0{,}2\,\text{s} \]

Oznacza to, że jedno pełne drganie trwa 0,2 sekundy.

Przykład 2 – liczenie częstotliwości z okresu

Przykład: Wahadło ma okres \( T = 2\,\text{s} \). Jaka jest jego częstotliwość?

Rozwiązanie:

\[ f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2\,\text{s}} = 0{,}5\,\text{Hz} \]

Układ wykonuje 0,5 drgania na sekundę, czyli jedno drganie w ciągu 2 sekund.

Okres drgań w różnych układach fizycznych

W wielu układach fizycznych okres drgań można wyrazić za pomocą wzorów zależnych od parametrów układu (masy, długości, sztywności sprężyny, itp.). Poniższa tabela pokazuje kilka typowych przykładów.

Układ drgający	Wzór na okres \( T \)	Co oznaczają symbole?
Drgania ogólnie (przez częstotliwość)	\( T = \frac{1}{f} \)	\( f \) – częstotliwość drgań
Oscylator harmoniczny: masa na sprężynie	\( T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \)	\( m \) – masa, \( k \) – stała sprężystości sprężyny
Wahadło matematyczne (małe wychylenia)	\( T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} \)	\( l \) – długość wahadła, \( g \) – przyspieszenie ziemskie
Ruch falowy (fala na strunie, dźwięk)	\( T = \frac{\lambda}{v} \)	\( \lambda \) – długość fali, \( v \) – prędkość rozchodzenia się fali

Dalej skupimy się na dwóch najważniejszych przypadkach z mechaniki: masie na sprężynie i wahadle matematycznym.

Okres drgań masy na sprężynie

Rozważmy ciało o masie \( m \) zawieszone na sprężynie o stałej sprężystości \( k \). Jeśli odchylimy ciało od położenia równowagi i puścimy, zacznie ono wykonywać drgania harmoniczne.

Wzór na okres drgań sprężyny

Dla drgań harmonicznych masy na sprężynie (pomijając tarcie) okres drgań wynosi:

\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \]

gdzie:

• \( T \) – okres drgań,
• \( m \) – masa ciała (w kilogramach, kg),
• \( k \) – stała sprężystości sprężyny (w niutonach na metr, N/m),
• \( \pi \approx 3{,}14 \).

Co oznacza ten wzór fizycznie?

• Im większa masa \( m \), tym większy okres – drgania są wolniejsze.
• Im sztywniejsza sprężyna (większe \( k \)), tym mniejszy okres – drgania są szybsze.
• Okres nie zależy od amplitudy (zakładając idealne drgania harmoniczne bez zbyt dużych wychyleń i bez tarcia).

Przykład 3 – obliczanie okresu drgań masy na sprężynie

Przykład: Ciało o masie \( m = 0{,}5\,\text{kg} \) zawieszono na sprężynie o stałej \( k = 200\,\text{N/m} \). Oblicz okres drgań.

Rozwiązanie:

Korzystamy ze wzoru:

\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \]

Podstawiamy:

\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{0{,}5}{200}} = 2\pi \sqrt{0{,}0025} = 2\pi \cdot 0{,}05 \approx 2 \cdot 3{,}14 \cdot 0{,}05 \approx 0{,}314\,\text{s} \]

Okres drgań wynosi około 0,31 s.

Okres drgań wahadła matematycznego

Wahadło matematyczne to punkt materialny zawieszony na nieważkiej (bardzo lekkiej) i nierozciągliwej nici. Dla niewielkich wychyleń (zwykle mniej niż około 10°) ruch takiego wahadła można dobrze opisać ruchem harmonicznym.

Wzór na okres wahadła

Okres drgań wahadła matematycznego w przybliżeniu wynosi:

\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} \]

gdzie:

• \( T \) – okres drgań wahadła,
• \( l \) – długość wahadła (w metrach, m),
• \( g \) – przyspieszenie ziemskie (około \( 9{,}81\,\text{m/s}^2 \), w zadaniach często przyjmujemy \( 10\,\text{m/s}^2 \)).

Najważniejsze cechy tego wzoru

• Okres zależy od długości wahadła – im dłuższe wahadło, tym większy okres (wolniejsze drgania).
• Okres zależy od przyspieszenia ziemskiego – na Księżycu czy na innych planetach okres byłby inny.
• Okres nie zależy od masy ciężarka ani od amplitudy (dla małych wychyleń).

Przykład 4 – obliczanie okresu wahadła

Przykład: Wahadło ma długość \( l = 1\,\text{m} \). Oblicz okres jego drgań, przyjmując \( g = 9{,}81\,\text{m/s}^2 \).

Rozwiązanie:

\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} = 2\pi \sqrt{\frac{1}{9{,}81}} \approx 2\pi \cdot 0{,}319 \approx 2 \cdot 3{,}14 \cdot 0{,}319 \approx 2{,}01\,\text{s} \]

Okres drgań wahadła o długości 1 m wynosi około 2 s.

Okres drgań a wykres ruchu harmonicznego

Ruch harmoniczny często opisuje się za pomocą funkcji sinus lub cosinus, np.:

\[ x(t) = A \sin(\omega t) \]

gdzie:

• \( x(t) \) – wychylenie od położenia równowagi w chwili czasu \( t \),
• \( A \) – amplituda drgań (maksymalne wychylenie),
• \( \omega \) – częstość kołowa,
• \( t \) – czas.

Okres drgań związany jest z częstością kołową wzorem:

\[ T = \frac{2\pi}{\omega} \]

Prosty wykres pokazujący okres

Poniższy wykres przedstawia przykładowy ruch harmoniczny. Okres drgań to odległość (w czasie) między kolejnymi szczytami sinusoidy (lub innymi równoważnymi punktami).

Najczęstsze błędy przy korzystaniu ze wzoru na okres drgań

• Brak uwagi na jednostki – częstotliwość podana w kilohertzach (kHz) musi być przeliczona na herce, długość na metry, itp.
• Pomylenie okresu z częstotliwością – okres to czas jednego drgania, częstotliwość to liczba drgań na sekundę.
• Niewłaściwy wzór do układu – np. użycie wzoru na wahadło matematyczne do ruchu masy na sprężynie.
• Zapominanie o pierwiastku – we wzorach \( T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \) i \( T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} \) pierwiastek jest kluczowy.

Jak rozwiązywać zadania z okresem drgań – schemat postępowania

1. Rozpoznaj typ układu – czy to ogólne drgania z podaną częstotliwością, wahadło, sprężyna, fala?
2. Wybierz właściwy wzór – np. \( T = \frac{1}{f} \), \( T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \), \( T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} \), \( T = \frac{\lambda}{v} \).
3. Sprawdź jednostki – przelicz na układ SI (m, kg, s, N/m).
4. Podstaw dane do wzoru – zapisz wyraźnie wszystkie kroki.
5. Oblicz wartość liczbową – zadbaj o przybliżenie (np. do dwóch miejsc po przecinku).
6. Zapisz jednostkę wyniku – zazwyczaj sekundy.

Prosty kalkulator okresu drgań

Poniższy kalkulator pomaga szybko obliczyć okres drgań w dwóch prostych przypadkach:

• z częstotliwości \( f \) – korzystając ze wzoru \( T = \frac{1}{f} \),
• dla masy na sprężynie – korzystając ze wzoru \( T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \).

Zastosowania wzoru na okres drgań

• Fizyka w szkole – zadania z mechaniki (wahadła, sprężyny), fal (dźwięk, fale na wodzie, fale elektromagnetyczne).
• Technika i inżynieria – projektowanie układów drgających (np. zawieszenia samochodów, amortyzatory, rezonanse mechaniczne).
• Elektronika – prądy zmienne, obwody LC, generatory sygnałów (gdzie odpowiednikiem masy i sprężyny są indukcyjność i pojemność).
• Pomiar czasu – od wahadłowych zegarów po rezonatory kwarcowe w zegarkach elektronicznych.

Podsumowanie

• Okres drgań \( T \) to czas jednego pełnego drgania.
• Okres i częstotliwość są odwrotnościami: \( T = \frac{1}{f} \), \( f = \frac{1}{T} \).
• W typowych układach: masa na sprężynie (\( T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \)), wahadło matematyczne (\( T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} \)).
• W zadaniach zawsze zwracaj uwagę na jednostki i na poprawny dobór wzoru do sytuacji fizycznej.
• Pojęcie okresu drgań jest uniwersalne i pojawia się w bardzo wielu działach fizyki.