Delta to jedno z najważniejszych pojęć w równaniach kwadratowych. Pojawia się praktycznie za każdym razem, gdy rozwiązujesz równanie z niewiadomą w postaci \( ax^2 + bx + c = 0 \). W tym tekście znajdziesz szybką ściągę: czym jest delta, jakie są wzory na deltę, jak ją obliczać krok po kroku oraz jak wykorzystać ją do znajdowania pierwiastków równania kwadratowego.
Co to jest delta w matematyce?
W kontekście równań kwadratowych delta (oznaczana symbolem \( \Delta \)) to specjalne wyrażenie liczbowe, które pozwala:
- sprawdzić, czy równanie kwadratowe ma rozwiązania,
- określić, ile jest rozwiązań (0, 1 czy 2),
- obliczyć dokładne wartości pierwiastków równania kwadratowego.
Standardowa postać równania kwadratowego to:
\[ ax^2 + bx + c = 0, \quad a \neq 0 \]
gdzie:
- \( a \) – współczynnik przy \( x^2 \),
- \( b \) – współczynnik przy \( x \),
- \( c \) – wyraz wolny (liczba bez \( x \)).
Podstawowy wzór na deltę
Główny, najczęściej używany wzór na deltę (dla równania kwadratowego) to:
\[ \Delta = b^2 – 4ac \]
Interpretacja wzoru:
- \( b^2 \) – kwadrat współczynnika przy \( x \),
- \( 4ac \) – czterokrotność iloczynu współczynników \( a \) i \( c \),
- \( \Delta \) – liczba, której znak (czy jest dodatnia, zero czy ujemna) decyduje o liczbie rozwiązań.
Jak znak delty wpływa na liczbę rozwiązań?
Delta ma kluczowe znaczenie przy rozwiązywaniu równań kwadratowych. W zależności od jej znaku mamy różne możliwości:
| Znak delty | Warunek | Liczba rozwiązań | Opis |
|---|---|---|---|
| \( \Delta > 0 \) | delta dodatnia | 2 różne pierwiastki | Parabola przecina oś \( OX \) w dwóch punktach. |
| \( \Delta = 0 \) | delta równa zero | 1 pierwiastek (podwójny) | Parabola styka się z osią \( OX \) w jednym punkcie. |
| \( \Delta < 0 \) | delta ujemna | brak pierwiastków rzeczywistych | Parabola nie przecina osi \( OX \). |
Jak obliczyć deltę – krok po kroku
Krok 1: Rozpoznaj współczynniki \( a \), \( b \), \( c \)
Na początku musisz zapisać równanie w postaci:
\[ ax^2 + bx + c = 0 \]
Następnie odczytujesz:
- \( a \) – liczba stojąca przy \( x^2 \),
- \( b \) – liczba stojąca przy \( x \),
- \( c \) – liczba bez \( x \).
Uwaga: Jeżeli równanie nie jest uporządkowane (np. wyrazy są w innej kolejności), najpierw je uporządkuj.
Krok 2: Podstaw do wzoru na deltę
Korzystasz z wzoru:
\[ \Delta = b^2 – 4ac \]
Podstawiasz konkretne liczby zamiast \( a \), \( b \), \( c \).
Krok 3: Oblicz wartość delty
Najpierw oblicz \( b^2 \), potem \( 4ac \), a na końcu wykonaj odejmowanie.
To wynik powie Ci, czy masz 2, 1 czy 0 rozwiązań rzeczywistych.
Przykłady obliczania delty
Przykład 1: Dodatnia delta (\( \Delta > 0 \))
Rozwiążmy równanie:
\[ 2x^2 + 3x – 5 = 0 \]
1. Rozpoznaj współczynniki:
- \( a = 2 \)
- \( b = 3 \)
- \( c = -5 \)
2. Oblicz deltę:
\[ \Delta = b^2 – 4ac = 3^2 – 4 \cdot 2 \cdot (-5) \]
\[ \Delta = 9 – 4 \cdot 2 \cdot (-5) \]
\[ \Delta = 9 – (-40) = 9 + 40 = 49 \]
Otrzymaliśmy \( \Delta = 49 \), czyli:
- \( \Delta > 0 \) – równanie ma dwa różne pierwiastki.
Przykład 2: Delta równa zero (\( \Delta = 0 \))
Rozważmy równanie:
\[ x^2 – 4x + 4 = 0 \]
1. Współczynniki:
- \( a = 1 \)
- \( b = -4 \)
- \( c = 4 \)
2. Obliczamy deltę:
\[ \Delta = (-4)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 – 16 = 0 \]
Otrzymaliśmy \( \Delta = 0 \), więc:
- równanie ma jeden pierwiastek podwójny (parabola styka się z osią \( OX \)).
Przykład 3: Ujemna delta (\( \Delta < 0 \))
Spójrzmy na równanie:
\[ 3x^2 + 2x + 5 = 0 \]
1. Współczynniki:
- \( a = 3 \)
- \( b = 2 \)
- \( c = 5 \)
2. Obliczamy deltę:
\[ \Delta = 2^2 – 4 \cdot 3 \cdot 5 = 4 – 60 = -56 \]
Otrzymaliśmy \( \Delta = -56 \), czyli:
- \( \Delta < 0 \) – brak pierwiastków rzeczywistych (równanie nie ma rozwiązań w liczbach rzeczywistych).
Zastosowanie delty do wyznaczania pierwiastków
Znając deltę, możemy obliczyć pierwiastki równania kwadratowego. Wzory na pierwiastki (dla \( \Delta \geq 0 \)) to:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \]
Co to oznacza?
- Jeżeli \( \Delta > 0 \), mamy dwa pierwiastki:
\[ x_1 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \] - Jeżeli \( \Delta = 0 \), oba pierwiastki są takie same:
\[ x_0 = \frac{-b}{2a} \]
Przykład z obliczaniem pierwiastków
Wróćmy do przykładu 1:
\[ 2x^2 + 3x – 5 = 0 \]
Obliczyliśmy już deltę:
\[ \Delta = 49 \]
Teraz liczymy pierwiastki:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm 7}{4} \]
1. Pierwszy pierwiastek:
\[ x_1 = \frac{-3 – 7}{4} = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2} \]
2. Drugi pierwiastek:
\[ x_2 = \frac{-3 + 7}{4} = \frac{4}{4} = 1 \]
Równanie ma więc dwa rozwiązania: \( x_1 = -\frac{5}{2} \), \( x_2 = 1 \).
Co jeśli \( a = 0 \)?
Bardzo ważna uwaga: wzory na deltę dotyczą tylko równań kwadratowych, czyli takich, gdzie:
\[ a \neq 0 \]
Jeśli \( a = 0 \), równanie:
\[ ax^2 + bx + c = 0 \]
staje się równaniem liniowym:
\[ bx + c = 0 \]
Wtedy nie używamy delty. Zamiast tego rozwiązujemy prosto:
\[ x = -\frac{c}{b} \quad (b \neq 0) \]
Delta a wykres funkcji kwadratowej
Równanie kwadratowe wiąże się z funkcją kwadratową:
\[ f(x) = ax^2 + bx + c \]
Jej wykresem jest parabola. Delta mówi, jak parabola zachowuje się względem osi \( OX \):
- \( \Delta > 0 \) – parabola przecina oś \( OX \) w dwóch punktach (dwa miejsca zerowe),
- \( \Delta = 0 \) – parabola styka się z osią \( OX \) (jedno miejsce zerowe),
- \( \Delta < 0 \) – parabola nie dotyka osi \( OX \) (brak miejsc zerowych).
Nie musisz rysować wykresu za każdym razem, ale warto pamiętać, że delta ma także graficzne znaczenie.
Szybka ściąga – najważniejsze wzory na deltę i pierwiastki
| Co liczymy? | Wzór | Warunki |
|---|---|---|
| Delta | \( \Delta = b^2 – 4ac \) | \( a \neq 0 \) |
| Pierwiastki przy \( \Delta > 0 \) | \( x_1 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \) | 2 różne pierwiastki |
| Pierwiastek przy \( \Delta = 0 \) | \( x_0 = \frac{-b}{2a} \) | 1 pierwiastek podwójny |
| Pierwiastki rzeczywiste przy \( \Delta < 0 \) | brak | brak rozwiązań w liczbach rzeczywistych |
Kalkulator delty i pierwiastków równania kwadratowego
Poniżej znajdziesz prosty kalkulator, który pomoże Ci szybko obliczyć deltę i (jeśli to możliwe) pierwiastki równania kwadratowego \( ax^2 + bx + c = 0 \).
Możesz wykorzystać ten kalkulator tak, jak robisz zadania:
- wpisz współczynniki \( a \), \( b \), \( c \) z zadania,
- kliknij „Oblicz deltę i pierwiastki”,
- porównaj wynik z własnymi obliczeniami – to dobra metoda sprawdzania.
Podsumowanie – jak zapamiętać wzory na deltę
- Zawsze zaczynaj od zapisania równania w postaci \( ax^2 + bx + c = 0 \).
- Wzór na deltę: \( \Delta = b^2 - 4ac \).
- Sprawdź znak delty:
- \( \Delta > 0 \) – dwa pierwiastki,
- \( \Delta = 0 \) – jeden pierwiastek podwójny,
- \( \Delta < 0 \) – brak pierwiastków rzeczywistych.
- Gdy \( \Delta \geq 0 \), użyj wzoru:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \] - Pamiętaj: delta dotyczy tylko równań, w których \( a \neq 0 \).
Jeśli opanujesz te kilka prostych kroków i wzorów na deltę, rozwiązywanie równań kwadratowych stanie się dużo prostsze i bardziej przewidywalne.
Przeczytaj również
Przekształcanie wykresów funkcji – zasady i przykłady
Sprzed czy z przed – jak to poprawnie zapisać?
Zbrodnia i kara – quiz z lektury