Przekształcanie wykresów funkcji – zasady i przykłady

Przekształcanie wykresów funkcji to jedna z najważniejszych umiejętności w matematyce szkolnej. Dzięki niej nie musisz za każdym razem rysować wykresu od zera – wystarczy, że znasz wykres funkcji „bazowej” (np. \(y=x^2\), \(y=|x|\), \(y=\sqrt{x}\)) i potrafisz go przesuwać, odbijać i rozciągać. W tym artykule krok po kroku wyjaśnimy zasady przekształcania wykresów funkcji i pokażemy liczne przykłady.

Podstawowe pojęcia – co to jest wykres funkcji?

Funkcja to przyporządkowanie każdej liczbie \(x\) dokładnie jednej liczby \(y\). Zapisujemy to zwykle jako \(y=f(x)\).

Wykres funkcji to zbiór wszystkich punktów \((x,y)\) na płaszczyźnie, które spełniają równanie \(y=f(x)\). Na przykład, jeśli \(f(x)=x^2\), to wykres jest zbiorem punktów \((x,x^2)\).

Kluczowa idea przekształcania wykresów jest taka:

• Zaczynamy od prostego, znanego wykresu (funkcji bazowej), np. \(y=x^2\).
• Wprowadzamy zmiany w równaniu (np. dodajemy liczbę, zmieniamy znak, mnożymy przez stałą).
• Każda taka zmiana ma konkretny, regularny wpływ na położenie i kształt całego wykresu.

Typy przekształceń wykresów funkcji

Będziemy rozpatrywać funkcję zadaną ogólnie w postaci:

\[ y = f(x). \]

Najczęściej spotykane przekształcenia to:

1. Przesunięcia w górę, w dół, w lewo i w prawo.
2. Odbicia względem osi \(Ox\) (poziomej) i osi \(Oy\) (pionowej).
3. Rozciąganie i ściskanie wykresu (w pionie i w poziomie).
4. Złożone przekształcenia będące połączeniem powyższych.

Przesunięcia wykresu funkcji

Przesunięcie w górę i w dół – \(y = f(x) + d\)

Jeżeli do wartości funkcji dodamy liczbę \(d\), to cały wykres przesuwa się w pionie:

• \(y = f(x) + d\) – przesunięcie o \(d\) jednostek w górę, jeśli \(d > 0\).
• \(y = f(x) – d\) – przesunięcie o \(d\) jednostek w dół, jeśli \(d > 0\).

Postać funkcji	Opis przekształcenia
\(y = f(x) + 3\)	Wykres \(y=f(x)\) przesunięty o 3 jednostki w górę.
\(y = f(x) – 2\)	Wykres \(y=f(x)\) przesunięty o 2 jednostki w dół.

Przykład 1. Niech \(f(x)=x^2\). Wtedy:

• \(y=x^2+2\) – parabola taka sama jak \(y=x^2\), ale cała przesunięta 2 jednostki w górę.
• \(y=x^2-5\) – parabola przesunięta 5 jednostek w dół.

Wierzchołek paraboli \(y=x^2\) ma współrzędne \((0,0)\). Po przesunięciu:

• dla \(y=x^2+2\) wierzchołek: \((0,2)\),
• dla \(y=x^2-5\) wierzchołek: \((0,-5)\).

Przesunięcie w lewo i w prawo – \(y = f(x – c)\)

Teraz zmieniamy argument funkcji, zamiast samej wartości. Rozpatrujemy postać:

\[ y = f(x – c). \]

To przesuwa wykres w poziomie:

• \(y = f(x – c)\) – przesunięcie o \(c\) jednostek w prawo, jeśli \(c > 0\).
• \(y = f(x + c)\) (czyli \(f(x-(-c))\)) – przesunięcie o \(c\) jednostek w lewo, jeśli \(c > 0\).

Postać funkcji	Opis przekształcenia
\(y = f(x – 2)\)	Wykres \(y=f(x)\) przesunięty o 2 jednostki w prawo.
\(y = f(x + 4)\)	Wykres \(y=f(x)\) przesunięty o 4 jednostki w lewo.

Dlaczego tak jest? Weźmy punkt \((x_0,y_0)\) z wykresu \(y=f(x)\), czyli \(y_0=f(x_0)\). W równaniu:

\[ y = f(x – 2) \]

żeby uzyskać tę samą wartość \(y_0\), trzeba wstawić do nowej funkcji \(x\) takie, by \(x-2 = x_0\), czyli \(x = x_0 + 2\). Dlatego punkt „przesuwa się” w prawo o 2.

Przykład 2. Niech \(f(x)=x^2\). Porównajmy:

• \(y=x^2\) – wierzchołek w punkcie \((0,0)\),
• \(y=(x-3)^2\) – wierzchołek w punkcie \((3,0)\), przesunięcie o 3 w prawo,
• \(y=(x+1)^2\) – wierzchołek w punkcie \((-1,0)\), przesunięcie o 1 w lewo.

Odbicia wykresu funkcji

Odbicie względem osi Ox – \(y = -f(x)\)

Jeśli przemnożymy całą funkcję przez \(-1\):

\[ y = -f(x), \]

to każdy punkt \((x,f(x))\) zmieni się w \((x,-f(x))\). To oznacza, że wykres zostanie odbity względem osi \(Ox\).

Postać funkcji	Opis przekształcenia
\(y = -f(x)\)	Odbicie wykresu \(y=f(x)\) względem osi \(Ox\).

Przykład 3. Niech \(f(x)=x^2\). Wtedy:

• \(y=x^2\) – parabola „otwarta do góry”,
• \(y=-x^2\) – parabola „otwarta w dół”, czyli odbicie względem osi \(Ox\).

Odbicie względem osi Oy – \(y = f(-x)\)

Jeśli zmienimy znak argumentu wewnątrz funkcji:

\[ y = f(-x), \]

to każdy punkt \((x,f(x))\) zmieni się w \((-x,f(x))\). To jest odbicie względem osi \(Oy\).

Postać funkcji	Opis przekształcenia
\(y = f(-x)\)	Odbicie wykresu \(y=f(x)\) względem osi \(Oy\).

Przykład 4. Niech \(f(x)=\sqrt{x}\). Wtedy:

• \(y=\sqrt{x}\) – wykres istnieje tylko dla \(x \ge 0\),
• \(y=\sqrt{-x}\) – wykres istnieje tylko dla \(x \le 0\) i jest odbiciem względem osi \(Oy\).

Rozciąganie i ściskanie wykresu

Rozciąganie/ściskanie w pionie – \(y = a \cdot f(x)\)

Gdy mnożymy funkcję przez stałą \(a\):

\[ y = a \cdot f(x), \]

to:

• Jeśli \(|a| > 1\) – wykres jest rozciągnięty w pionie (oddala się od osi \(Ox\)).
• Jeśli \(0 < |a| < 1\) – wykres jest ściśnięty w pionie (zbliża się do osi \(Ox\)).
• Jeśli \(a < 0\) – dodatkowo mamy odbicie względem osi \(Ox\).

Postać funkcji	Opis
\(y = 2f(x)\)	Rozciągnięcie w pionie 2 razy.
\(y = \frac{1}{2}f(x)\)	Ściśnięcie w pionie 2 razy.
\(y = -3f(x)\)	Odbicie względem osi \(Ox\) i rozciągnięcie 3 razy.

Przykład 5. Niech \(f(x)=x^2\).

• \(y=2x^2\) – dla każdego \(x\) nowa wartość \(y\) jest 2 razy większa niż w \(x^2\). Parabola jest „węższa”.
• \(y=\frac{1}{2}x^2\) – wartości są 2 razy mniejsze, parabola jest „szersza”.

Rozciąganie/ściskanie w poziomie – \(y = f(bx)\)

Gdy mnożymy argument funkcji przez stałą \(b\):

\[ y = f(bx), \]

to dzieje się coś trochę odwrotnego niż byśmy intuicyjnie oczekiwali:

• Jeśli \(|b| > 1\) – wykres jest ściśnięty w poziomie (zbliża się do osi \(Oy\)).
• Jeśli \(0 < |b| < 1\) – wykres jest rozciągnięty w poziomie.
• Jeśli \(b < 0\) – dodatkowo mamy odbicie względem osi \(Oy\).

Postać funkcji	Opis
\(y = f(2x)\)	Ściśnięcie wykresu w poziomie 2 razy.
\(y = f\!\left(\frac{1}{2}x\right)\)	Rozciągnięcie w poziomie 2 razy.

Przykład 6. Niech \(f(x)=x^2\).

• \(y=(2x)^2=4x^2\) – wartości rosną szybciej, wykres jest bardziej „stromy”; formalnie: ściśnięcie poziome 2 razy.
• \(y=\left(\frac{1}{2}x\right)^2=\frac{1}{4}x^2\) – rozciągnięcie poziome 2 razy.

Złożone przekształcenia – ogólny wzór

Większość zadań maturalnych i szkolnych sprowadza się do analizy wzoru:

\[ y = a\cdot f\big(b(x-c)\big) + d. \]

Każdy parametr ma konkretne znaczenie:

• \(c\) – przesunięcie w poziomie: o \(c\) w prawo (dla \(c>0\)).
• \(d\) – przesunięcie w pionie: o \(d\) w górę (dla \(d>0\)).
• \(a\) – rozciąganie/ściskanie w pionie i ewentualne odbicie względem osi \(Ox\).
• \(b\) – rozciąganie/ściskanie w poziomie i ewentualne odbicie względem osi \(Oy\).

Parametr	Wpływ na wykres \(y=f(x)\)
\(c\)	Przesunięcie o \(c\) w prawo (dla \(c>0\)).
\(d\)	Przesunięcie o \(d\) w górę (dla \(d>0\)).
\(a\)	Rozciąganie/ściskanie pionowe i odbicie względem \(Ox\) dla \(a<0\).
\(b\)	Rozciąganie/ściskanie poziome i odbicie względem \(Oy\) dla \(b<0\).

Jak stosować ogólny wzór w praktyce?

Zwykle masz daną konkretną funkcję, np.

\[ y = -2\cdot f\big(3(x-1)\big)+4. \]

Analizujesz krok po kroku:

1. \(x-1\) – przesunięcie w prawo o 1.
2. \(3(x-1)\) – mnożenie argumentu przez 3: ściśnięcie poziome 3 razy.
3. \(-2 \cdot f(\dots)\) – odbicie względem osi \(Ox\) i rozciągnięcie w pionie 2 razy.
4. \(+4\) – przesunięcie w górę o 4.

W praktyce wykres rysuje się, zaczynając od bazowego \(y=f(x)\), a potem wykonując te operacje po kolei.

Przykłady przekształcania wykresów funkcji

Przykład 7 – funkcja kwadratowa

Weźmy funkcję bazową:

\[ f(x)=x^2. \]

Rozważmy funkcję:

\[ g(x) = 2(x-1)^2 – 3. \]

Opis przekształceń od \(f(x)\) do \(g(x)\):

1. \((x-1)^2\) – przesunięcie w prawo o 1 (wierzchołek z \((0,0)\) na \((1,0)\)).
2. \(2(x-1)^2\) – rozciągnięcie pionowe 2 razy (parabola jest „węższa”).
3. \(2(x-1)^2 – 3\) – przesunięcie w dół o 3 (wierzchołek z \((1,0)\) na \((1,-3)\)).

Nowy wierzchołek ma współrzędne \((1,-3)\).

Przykład 8 – funkcja wartość bezwzględna

Funkcja bazowa:

\[ f(x)=|x|. \]

Rozważmy:

\[ h(x) = -|x+2| + 1. \]

Krok po kroku:

1. \(|x+2| = |x-(-2)|\) – przesunięcie wykresu \(|x|\) o 2 jednostki w lewo (wierzchołek z \((0,0)\) na \((-2,0)\)).
2. \(-|x+2|\) – odbicie względem osi \(Ox\) (litera „V” otwarta w dół, wierzchołek dalej \((-2,0)\)).
3. \(-|x+2| + 1\) – przesunięcie o 1 do góry (wierzchołek do \((-2,1)\)).

Przykład 9 – funkcja pierwiastkowa

Funkcja bazowa:

\[ f(x)=\sqrt{x}, \quad x \ge 0. \]

Rozważmy:

\[ k(x)=\sqrt{x-4}+2. \]

1. \(\sqrt{x-4}\) – przesunięcie wykresu \(\sqrt{x}\) o 4 w prawo (początek zamiast w \((0,0)\) – w \((4,0)\)).
2. \(\sqrt{x-4} + 2\) – przesunięcie o 2 w górę (początek w \((4,2)\)).

Ważne: dziedzina też się zmienia. Dla \(\sqrt{x-4}\) wymagana jest nierówność \(x-4 \ge 0\), czyli \(x \ge 4\).

Prosty wykres – porównanie \(y=x^2\) i \(y=(x-2)^2+1\)

Poniżej prosty, responsywny wykres wykonany w bibliotece Chart.js, przedstawiający funkcję bazową \(y=x^2\) oraz jej przekształcenie \(y=(x-2)^2+1\): przesunięcie o 2 w prawo i o 1 w górę.

Jak samodzielnie analizować przekształcenia – praktyczny schemat

Jeśli masz funkcję w postaci:

\[ y = a\cdot f\big(b(x-c)\big)+d, \]

możesz stosować następujący schemat:

1. Znajdź \(c\) – zobacz, co dzieje się wewnątrz nawiasu przy \(x\): jeśli tam jest \(x-c\), to przesunięcie o \(c\) w prawo.
2. Znajdź \(b\) – współczynnik przy \(x\) w środku funkcji: określ, czy wykres jest ściśnięty/rozciągnięty poziomo i czy jest odbicie względem \(Oy\).
3. Znajdź \(a\) – współczynnik przed funkcją: rozciągnięcie/ściśnięcie pionowe, ewentualnie odbicie względem \(Ox\).
4. Znajdź \(d\) – liczba dodana na końcu: przesunięcie w górę lub w dół.
5. Zacznij od prostego szkicu wykresu bazowego i wykonuj operacje po kolei, zaznaczając charakterystyczne punkty (np. wierzchołek, przecięcia z osiami).

Interaktywny mini-kalkulator przekształceń wykresu

Poniższy prosty kalkulator pomoże Ci zrozumieć, jak parametry \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) w równaniu

\[ y = a\cdot f\big(b(x-c)\big) + d \]

wpływają na wykres funkcji bazowej \(y=f(x)\). Wpisz liczby i odczytaj opis przekształcenia.

Podsumowanie – jak przekształcać wykresy funkcji?

• Przesunięcia: \(f(x)+d\) (góra/dół), \(f(x-c)\) (prawo/lewo).
• Odbicia: \(-f(x)\) (względem \(Ox\)), \(f(-x)\) (względem \(Oy\)).
• Skalowania: \(a f(x)\) (pion), \(f(bx)\) (poziom).
• Ogólny wzór \(y = a\cdot f(b(x-c))+d\) łączy wszystkie typy przekształceń.

Najlepszym sposobem na opanowanie przekształcania wykresów jest praktyka: rysuj wykres funkcji bazowej, a następnie krok po kroku wprowadzaj kolejne zmiany, korzystając z opisanych zasad. Po pewnym czasie zaczniesz „widzieć” wykres już na podstawie samego równania.