Kategoria: Przedmioty » Przedmioty ścisłe
W trójkącie prostokątnym można wpisać okrąg tak, aby dotykał wszystkich trzech boków. Taki okrąg nazywamy okręgiem wpisanym, a jego promień oznaczamy zwykle literą \(r\). Poniżej nauczysz się, skąd bierze się wygodny wzór na \(r\) w trójkącie prostokątnym i jak go stosować w zadaniach.
1) Co to jest okrąg wpisany i promień \(r\)?
Okrąg wpisany w trójkąt to okrąg, który:
- leży całkowicie wewnątrz trójkąta,
- jest styczny do każdego boku (dotyka go w jednym punkcie),
- ma środek w punkcie przecięcia dwusiecznych kątów trójkąta.
Odległość środka tego okręgu od dowolnego boku trójkąta jest taka sama — i właśnie jest to promień \(r\).
2) Oznaczenia w trójkącie prostokątnym
Przyjmijmy standardowe oznaczenia:
- \(a\) i \(b\) — przyprostokątne (boki tworzące kąt prosty),
- \(c\) — przeciwprostokątna (bok naprzeciw kąta prostego),
- \(r\) — promień okręgu wpisanego,
- \(P\) — pole trójkąta,
- \(p\) — półobwód trójkąta.
| Symbol | Znaczenie | W trójkącie prostokątnym |
|---|---|---|
| \(a, b\) | przyprostokątne | tworzą kąt \(90^\circ\) |
| \(c\) | przeciwprostokątna | \(c=\sqrt{a^2+b^2}\) |
| \(p\) | półobwód | \(p=\dfrac{a+b+c}{2}\) |
| \(P\) | pole | \(P=\dfrac{ab}{2}\) |
| \(r\) | promień okręgu wpisanego | szukany |
3) Najważniejsza zależność: \(P = r \cdot p\)
W każdym trójkącie (nie tylko prostokątnym) zachodzi bardzo ważny wzór:
\(\displaystyle P = r\cdot p\)
Dlaczego? Okrąg wpisany dotyka każdego boku, a promień \(r\) jest wysokością „małych trójkątów” opartych o poszczególne boki. Suma ich pól daje pole całego trójkąta, co prowadzi właśnie do \(P=r\cdot p\).
Stąd od razu:
\(\displaystyle r=\frac{P}{p}\)
4) Wzór na promień okręgu wpisanego w trójkącie prostokątnym
Dla trójkąta prostokątnego mamy:
\(\displaystyle P=\frac{ab}{2}\)
\(\displaystyle p=\frac{a+b+c}{2}\)
Podstawiamy do \(\displaystyle r=\frac{P}{p}\):
\[\displaystyle r=\frac{\frac{ab}{2}}{\frac{a+b+c}{2}}=\frac{ab}{a+b+c}\]
To jest poprawny i często używany wzór. Jednak w trójkącie prostokątnym istnieje też bardzo wygodna postać (zwykle najszybsza w obliczeniach):
\[\displaystyle r=\frac{a+b-c}{2}\]
Skąd ona się bierze? Wystarczy zauważyć, że dla trójkąta prostokątnego zachodzi równoważność (po prostych przekształceniach z wykorzystaniem \(c^2=a^2+b^2\)), że oba wzory dają ten sam wynik. W praktyce najczęściej:
- gdy znasz \(a,b\) — policz \(c=\sqrt{a^2+b^2}\), a potem \(r=\dfrac{a+b-c}{2}\),
- gdy znasz wszystkie boki \(a,b,c\) — od razu użyj \(r=\dfrac{a+b-c}{2}\).
5) Prosty rysunek (trójkąt prostokątny + okrąg wpisany)
Poniższy rysunek jest schematyczny — ma pomóc zobaczyć, co oznaczają \(a\), \(b\), \(c\) i \(r\). Jest responsywny, więc powinien dobrze wyglądać także na telefonie.
6) Przykład obliczeniowy (klasyczny trójkąt 3–4–5)
Załóżmy, że przyprostokątne mają długości:
\(\displaystyle a=3,\quad b=4\)
Krok 1: oblicz przeciwprostokątną (twierdzenie Pitagorasa):
\[\displaystyle c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\]
Krok 2: podstaw do wzoru na promień okręgu wpisanego:
\[\displaystyle r=\frac{a+b-c}{2}=\frac{3+4-5}{2}=\frac{2}{2}=1\]
Odpowiedź: promień okręgu wpisanego wynosi \(\displaystyle r=1\).
7) Szybka kontrola wyniku (czy ma sens?)
Warto mieć prostą intuicję:
- \(r\) musi być dodatni, więc musi zachodzić \(a+b>c\) (to i tak warunek istnienia trójkąta),
- \(r\) nie może być większy niż połowa krótszej przyprostokątnej (okrąg musi się zmieścić).
Dla \(a=3\), \(b=4\) mamy \(r=1\), co jest rozsądne.
8) Najczęstsze błędy
- Pomylenie boków: we wzorze \(\displaystyle r=\frac{a+b-c}{2}\) litery \(a\) i \(b\) oznaczają przyprostokątne, a \(c\) przeciwprostokątną.
- Złe obliczenie \(c\): pamiętaj: \(\displaystyle c=\sqrt{a^2+b^2}\), a nie \(\sqrt{a+b}\).
- Brak nawiasów: \(\displaystyle \frac{a+b-c}{2}\) to całość podzielona przez 2.
9) Kalkulator promienia okręgu wpisanego (dla przyprostokątnych \(a\) i \(b\))
Wpisz długości przyprostokątnych \(a\) i \(b\). Kalkulator policzy \(c\) z Pitagorasa oraz promień \(r\) ze wzoru \(\displaystyle r=\frac{a+b-c}{2}\).
10) Podsumowanie – najważniejszy wzór
Dla trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych \(a\) i \(b\) oraz przeciwprostokątnej \(c\):
\[\displaystyle r=\frac{a+b-c}{2},\quad \text{gdzie }\; c=\sqrt{a^2+b^2}\]
Jeśli zapamiętasz ten zestaw, większość zadań o promieniu okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny rozwiążesz szybko i bezpiecznie.
Przeczytaj również
Co to znaczy nonszalancki – znaczenie, przykłady użycia, kontekst
Absentia – co to znaczy w języku polskim?
Powierzchnia Polski w km² – aktualne dane i porównania