Działanie na zbiorach - ciekawe przykłady i zadania

W matematyce bardzo często spotykamy się ze zbiorami i działaniami na zbiorach. Pojawiają się one już w szkole podstawowej, a potem w liceum, na studiach, w informatyce, statystyce, logice czy teorii prawdopodobieństwa. W tym artykule wyjaśnimy krok po kroku, czym są zbiory, jakie działania możemy na nich wykonywać oraz jak rozwiązywać zadania dotyczące zbiorów.

Podstawowe pojęcia: co to jest zbiór?

Zbiór to po prostu kolekcja (zbiór) elementów. Elementami mogą być liczby, litery, osoby, przedmioty – cokolwiek jasno określonego.

Przykłady:

\( A = \{1, 2, 3, 4\} \) – zbiór czterech liczb naturalnych,
\( B = \{\text{kot}, \text{pies}, \text{rybka}\} \) – zbiór trzech zwierząt domowych,
\( C = \{x \in \mathbb{R} : x > 0\} \) – zbiór wszystkich liczb rzeczywistych większych od zera.

Element należy do zbioru oznaczamy symbolem \(\in\), a brak przynależności symbolem \(\notin\):

\( 2 \in A \), ponieważ 2 jest w zbiorze \(A\),
\( 5 \notin A \), ponieważ 5 nie ma w zbiorze \(A\).

Zapisy zbiorów

Najczęściej spotkasz dwa sposoby zapisu zbiorów:

Wymienianie elementów (opis jawny): np. \( A = \{1, 2, 3, 4\} \).
Opis za pomocą warunku: np. \( A = \{x \in \mathbb{N} : 1 \le x \le 4\} \).

Podzbiory i zbiór pusty

Mówimy, że \( A \) jest podzbiorem \( B \), jeśli każdy element \( A \) jest jednocześnie elementem \( B \). Zapisujemy:

\[ A \subseteq B \]

Przykład: jeśli \( A = \{1, 2\} \) i \( B = \{1, 2, 3, 4\} \), to \( A \subseteq B \).

Zbiór pusty to zbiór bez elementów, oznaczamy go:

\[ \emptyset \]

Na przykład, jeśli \( D \) to zbiór liczb naturalnych mniejszych od zera, to:

\[ D = \emptyset \]

Liczebność (moc) zbioru

Liczbę elementów zbioru nazywamy jego liczebnością (lub mocą) i oznaczamy \(|A|\):

Jeśli \( A = \{1, 2, 3, 4\} \), to \(|A| = 4\).
Jeśli \( B = \{\text{kot}, \text{pies}, \text{rybka}\} \), to \(|B| = 3\).

Podstawowe działania na zbiorach

Najważniejsze operacje na zbiorach w matematyce to:

suma zbiorów,
iloczyn (część wspólna),
różnica,
dopełnienie.

Często używa się też pojęcia zbioru przeciwnego (dopełnienia) względem jakiegoś większego zbioru, np. zbioru wszystkich rozważanych elementów.

Suma zbiorów

Suma zbiorów \( A \) i \( B \) to zbiór wszystkich elementów, które należą do co najmniej jednego z tych zbiorów.

Definicja:

\[ A \cup B = \{x : x \in A \text{ lub } x \in B\} \]

Przykład:

Niech \( A = \{1, 2, 3\} \) i \( B = \{3, 4, 5\} \). Wtedy:

\[ A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5\} \]

Zauważ, że element 3, który był w obu zbiorach, w sumie pojawia się tylko raz. Zbiory nie przechowują „duplikatów”.

Iloczyn zbiorów (część wspólna)

Iloczyn zbiorów \( A \) i \( B \) (część wspólna) to zbiór tych elementów, które należą jednocześnie do \( A \) i do \( B \).

Definicja:

\[ A \cap B = \{x : x \in A \text{ i } x \in B\} \]

Przykład:

Niech \( A = \{1, 2, 3\} \) i \( B = \{3, 4, 5\} \). Wtedy:

\[ A \cap B = \{3\} \]

Różnica zbiorów

Różnica zbiorów \( A \setminus B \) (czasem zapisywana jako \( A – B \)) to zbiór tych elementów, które są w \( A \), ale nie ma ich w \( B \).

Definicja:

\[ A \setminus B = \{x : x \in A \text{ i } x \notin B\} \]

Przykład:

Niech \( A = \{1, 2, 3, 4\} \) i \( B = \{3, 4, 5\} \). Wtedy:

\( A \setminus B = \{1, 2\} \)
\( B \setminus A = \{5\} \)

Dopełnienie zbioru

Aby mówić o dopełnieniu zbioru, musimy ustalić zbiór otaczający, zwany często zbiorem uniwersalnym i oznaczany \( U \). To „świat”, w którym się poruszamy.

Dopełnienie zbioru \( A \) względem \( U \) to zbiór wszystkich elementów z \( U \), które nie należą do \( A \).

Definicja:

\[ A’ = U \setminus A = \{x \in U : x \notin A\} \]

Przykład:

Niech \( U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \) oraz \( A = \{2, 4, 6\} \). Wtedy:

\[ A’ = \{1, 3, 5\} \]

Podsumowanie działań w tabeli

Poniższa tabela pokazuje, jak traktować działania na zbiorach „logicznie” dla pojedynczego elementu \( x \). Zakładamy zbiór uniwersalny \( U \) i sprawdzamy, czy \( x \) jest w danym zbiorze (T – tak, F – nie).

\(x \in A\)	\(x \in B\)	\(x \in A \cup B\)	\(x \in A \cap B\)	\(x \in A \setminus B\)
T	T	T	T	F
T	F	T	F	T
F	T	T	F	F
F	F	F	F	F

Znajomość tej tabeli bardzo pomaga w zrozumieniu teorii zbiorów i logiki.

Przykłady działań na zbiorach – krok po kroku

Przykład 1. Suma i iloczyn zbiorów

Dane są zbiory:

\[ A = \{1, 2, 3, 4\}, \quad B = \{3, 4, 5, 6\}. \]

Oblicz: \( A \cup B \) oraz \( A \cap B \).

Rozwiązanie:

Suma – wypisujemy wszystkie elementy, które są w \( A \) albo w \( B \):
\( A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \).
Iloczyn – wypisujemy elementy wspólne obu zbiorom:
\( A \cap B = \{3, 4\} \).

Przykład 2. Różnica zbiorów

Dane są zbiory:

\[ A = \{2, 4, 6, 8\}, \quad B = \{4, 8, 10\}. \]

Oblicz: \( A \setminus B \) i \( B \setminus A \).

Rozwiązanie:

\( A \setminus B \): elementy z \( A \), których nie ma w \( B \):
\( A \setminus B = \{2, 6\} \).
\( B \setminus A \): elementy z \( B \), których nie ma w \( A \):
\( B \setminus A = \{10\} \).

Przykład 3. Dopełnienie zbioru

Niech:

\( U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\} \) – zbiór wszystkich rozważanych liczb,
\( A = \{2, 3, 5, 7\} \).

Oblicz dopełnienie \( A’ \) względem \( U \).

Rozwiązanie:

Dopełnienie zawiera te elementy z \( U \), których nie ma w \( A \):

\[ A’ = \{1, 4, 6, 8\} \]

Działania na liczebnościach zbiorów

Często w zadaniach nie wypisujemy elementów zbiorów, ale znamy ich liczebności, np.:

\(|A|\) – liczebność zbioru \(A\),
\(|B|\) – liczebność zbioru \(B\),
\(|A \cap B|\) – liczebność części wspólnej,
\(|A \cup B|\) – liczebność sumy zbiorów.

Wzór na liczebność sumy dwóch zbiorów

Bardzo ważny wzór:

\[ |A \cup B| = |A| + |B| – |A \cap B| \]

Dlaczego tak jest?

Dodając \(|A|\) i \(|B|\), elementy wspólne liczymy podwójnie.
Dlatego musimy odjąć raz liczebność części wspólnej, czyli \(|A \cap B|\).

Przykład 4. Stosowanie wzoru na sumę zbiorów

W klasie jest 30 uczniów. 18 uczniów lubi matematykę (\(A\)), 20 uczniów lubi informatykę (\(B\)), a 15 uczniów lubi obie te dziedziny (\(A \cap B\)). Ilu uczniów lubi co najmniej jedną z tych dziedzin?

Oznaczmy:

\(|U| = 30\) – wszyscy uczniowie,
\(|A| = 18\),
\(|B| = 20\),
\(|A \cap B| = 15\).

Chcemy policzyć \(|A \cup B|\). Stosujemy wzór:

\[ |A \cup B| = |A| + |B| – |A \cap B| = 18 + 20 – 15 = 23. \]

Odpowiedź: 23 uczniów lubi co najmniej jedną z tych dziedzin.

Przykład 5. Liczebności dopełnienia

Korzystając z przykładu wyżej, policz, ilu uczniów nie lubi ani matematyki, ani informatyki (czyli nie należy do \( A \cup B \)).

Mamy 30 uczniów, czyli \(|U| = 30\), oraz \(|A \cup B| = 23\). Zbiór uczniów, którzy nie lubią matematyki ani informatyki, to dopełnienie:

\[ (A \cup B)’ = U \setminus (A \cup B). \]

Jego liczebność to:

\[ |(A \cup B)’| = |U| – |A \cup B| = 30 – 23 = 7. \]

Zatem 7 uczniów nie lubi ani matematyki, ani informatyki.

Prosty kalkulator działań na liczebnościach zbiorów

Poniższy prosty kalkulator pomoże Ci ćwiczyć zadania typu: „w klasie jest … osób, tyle lubi A, tyle lubi B, tyle lubi obie… Oblicz, ilu uczniów lubi co najmniej jedną z tych dziedzin, ilu żadnej, itd.”

Załóżmy, że znamy:

\(|U|\) – całkowita liczba elementów (np. uczniów),
\(|A|\) – liczba elementów w zbiorze \(A\),
\(|B|\) – liczba elementów w zbiorze \(B\),
\(|A \cap B|\) – liczba elementów należących do obu zbiorów jednocześnie.

Kalkulator policzy za Ciebie:

\(|A \cup B|\) – ile elementów należy do co najmniej jednego z tych zbiorów,
\(|A’|\) – ile elementów nie należy do zbioru \(A\),
\(|B’|\) – ile elementów nie należy do zbioru \(B\),
\(|(A \cup B)’|\) – ile elementów nie należy do żadnego z tych zbiorów.

Kalkulator działań na liczebnościach zbiorów

Liczebność zbioru uniwersalnego \(|U|\):

Liczebność zbioru \(|A|:

Liczebność zbioru \(|B|:

Liczebność części wspólnej \(|A \cap B|:

Prawo de Morgana i inne własności działań na zbiorach

Działania na zbiorach mają własności podobne do dodawania i mnożenia liczb (łączność, przemienność, rozdzielność). Jednymi z najważniejszych są prawa de Morgana.

Prawa de Morgana

Dla dwóch zbiorów \(A\) i \(B\) obowiązują następujące równości:

\[ (A \cup B)’ = A’ \cap B’ \]

\[ (A \cap B)’ = A’ \cup B’ \]

Co to znaczy „na słowa”?

Dopełnienie sumy to część wspólna dopełnień: „nie jest ani w \(A\), ani w \(B\)” to znaczy „nie jest w \(A\) i jednocześnie nie jest w \(B\)”.
Dopełnienie części wspólnej to suma dopełnień: „nie jest w obu naraz” oznacza, że „nie jest w \(A\) lub nie jest w \(B\)”.

Przykład 6. Interpretacja prawa de Morgana

Niech \( U \) oznacza wszystkie osoby w szkole, a:

\( A \) – zbiór osób, które grają w piłkę nożną,
\( B \) – zbiór osób, które grają w siatkówkę.

Wtedy:

\( A \cup B \) – osoby, które grają w piłkę nożną lub siatkówkę (co najmniej jedną z tych gier),
\((A \cup B)’\) – osoby, które nie grają w piłkę nożną ani siatkówkę,
\(A’\) – osoby, które nie grają w piłkę nożną,
\(B’\) – osoby, które nie grają w siatkówkę,
\(A’ \cap B’\) – osoby, które nie grają w piłkę nożną i jednocześnie nie grają w siatkówkę.

Prawo de Morgana mówi, że:

\[ (A \cup B)’ = A’ \cap B’ \]

co tutaj oznacza, że „nie grają w żadną z tych gier” dokładnie pokrywa się z „nie grają w piłkę nożną i jednocześnie nie grają w siatkówkę”.

Typowe zadania dotyczące działań na zbiorach

Zadanie 1 (proste).

Dane są zbiory:

\[ A = \{1, 2, 3, 4, 5\}, \quad B = \{4, 5, 6, 7\}. \]

Znajdź \( A \cup B \).
Znajdź \( A \cap B \).
Znajdź \( A \setminus B \).

Rozwiązanie:

Suma:
\( A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} \).
Iloczyn:
\( A \cap B = \{4, 5\} \).
Różnica:
\( A \setminus B = \{1, 2, 3\} \).

Zadanie 2 (z zastosowaniem liczebności).

W grupie 40 uczniów:

25 uczniów uczy się języka angielskiego (\(A\)),
18 uczniów uczy się języka niemieckiego (\(B\)),
10 uczniów uczy się obu języków jednocześnie (\(A \cap B\)).

Ilu uczniów uczy się co najmniej jednego z tych języków?
Ilu uczniów nie uczy się żądnego z tych języków?
Ilu uczniów uczy się tylko angielskiego?
Ilu uczniów uczy się tylko niemieckiego?

Rozwiązanie krok po kroku:

Dane:

\(|U| = 40\),
\(|A| = 25\),
\(|B| = 18\),
\(|A \cap B| = 10\).

Uczniowie uczący się co najmniej jednego języka to \(|A \cup B|\):
\[ |A \cup B| = |A| + |B| – |A \cap B| = 25 + 18 – 10 = 33. \]
Uczniowie, którzy nie uczą się żadnego języka, to dopełnienie:
\[ |(A \cup B)’| = |U| – |A \cup B| = 40 – 33 = 7. \]
Uczniowie uczący się tylko angielskiego to „angielski, ale nie niemiecki”:
\[ |A \setminus B| = |A| – |A \cap B| = 25 – 10 = 15. \]
Uczniowie uczący się tylko niemieckiego:
\[ |B \setminus A| = |B| – |A \cap B| = 18 – 10 = 8. \]

Zadanie 3 (sprawdź się samodzielnie).

W pewnej klasie:

28 uczniów lubi matematykę (\(M\)),
22 uczniów lubi fizykę (\(F\)),
18 uczniów lubi zarówno matematykę, jak i fizykę (\(M \cap F\)),
5 uczniów nie lubi ani matematyki, ani fizyki.

Jaka jest liczba wszystkich uczniów w klasie?
Ilu uczniów lubi co najmniej jeden z tych przedmiotów?
Ilu uczniów lubi tylko matematykę?
Ilu uczniów lubi tylko fizykę?

Wskazówki:

Najpierw policz \(|M \cup F|\) ze wzoru.
Potem dodaj tych, którzy nie lubią żadnego przedmiotu, aby otrzymać \(|U|\).
Użyj wzorów: \(|M \setminus F| = |M| – |M \cap F|\) i \(|F \setminus M| = |F| – |M \cap F|\).

Odpowiedzi (sprawdzenie):

\(|M \cup F| = 28 + 22 – 18 = 32\),
\(|U| = 32 + 5 = 37\) uczniów,
tylko matematyka: \(28 – 18 = 10\),
tylko fizyka: \(22 – 18 = 4\).

Praktyczne wskazówki: jak wykonywać działania na zbiorach?

Podczas rozwiązywania zadań z zakresu teorii zbiorów pomocne są następujące strategie:

Rysuj proste diagramy Venna (choćby w zeszycie): dwa kółka nachodzące na siebie, podpisane \(A\) i \(B\). Zaznaczaj tam liczebności.
Zawsze ustalaj zbiór uniwersalny \(U\) – czyli „wszystkich rozważanych”. Bez tego trudniej jest liczyć dopełnienia.
Zapisuj dane symbolicznie: \(|A| = \ldots\), \(|B| = \ldots\), \(|A \cap B| = \ldots\), \(|U| = \ldots\). To porządkuje zadanie.
Używaj wzoru na sumę zbiorów: \(|A \cup B| = |A| + |B| – |A \cap B|\).
Pamiętaj o częściach: „tylko A”, „tylko B”, „oba”, „żaden”. Często zadanie sprowadza się do odpowiedniego rozdzielenia liczebności na te cztery regiony.

Podsumowanie

Operacje na zbiorach – suma, iloczyn, różnica, dopełnienie – są podstawowymi narzędziami w matematyce. Dzięki nim możemy opisywać relacje między grupami obiektów (liczbami, osobami, przedmiotami), rozwiązywać zadania tekstowe i budować bardziej zaawansowane działy matematyki, takie jak rachunek prawdopodobieństwa czy logika.

Najważniejsze rzeczy do zapamiętania:

\( A \cup B \) – wszystko, co jest w \(A\) lub w \(B\),
\( A \cap B \) – wszystko, co jest jednocześnie w \(A\) i w \(B\),
\( A \setminus B \) – elementy \(A\), których nie ma w \(B\),
\( A’ = U \setminus A \) – wszystko z \(U\), co nie jest w \(A\),
\(|A \cup B| = |A| + |B| – |A \cap B|\),
prawa de Morgana: \( (A \cup B)’ = A’ \cap B’ \), \( (A \cap B)’ = A’ \cup B’ \).

Ćwicząc na wielu przykładach (takich jak w tym artykule) szybko nabierzesz pewności w wykonywaniu działań na zbiorach i rozwiązywaniu typowych zadań z tego zakresu.