Wzór na spadek napięcia - praktyczne przykłady zadań

Spadek napięcia to jedno z kluczowych pojęć w elektrotechnice. Pojawia się w każdym obwodzie elektrycznym: od prostego obwodu z baterią i żarówką, po instalacje domowe i linie przesyłowe energetyki. Zrozumienie, czym jest spadek napięcia i jak go obliczać, pozwala poprawnie projektować i analizować obwody.

Co to jest spadek napięcia?

Wyobraź sobie wodę płynącą w rurze. Na początku rury ciśnienie jest wyższe, a na końcu – niższe, ponieważ woda pokonuje opór przepływu. W obwodach elektrycznych napięcie pełni rolę odpowiednika ciśnienia, a prąd – odpowiednika strumienia wody.

Spadek napięcia to różnica napięć między początkiem a końcem elementu obwodu (np. rezystora, odcinka przewodu, żarówki):

\[ \Delta U = U_{\text{początek}} – U_{\text{koniec}} \]

Spadek napięcia oznacza, ile „energii elektrycznej na jednostkę ładunku” zostało zużyte (rozproszone) na danym elemencie obwodu, np. w postaci ciepła w rezystorze lub światła w żarówce.

Prawo Ohma jako podstawa obliczeń spadku napięcia

Najważniejszym narzędziem do obliczania spadku napięcia jest prawo Ohma:

\[ U = R \cdot I \]

gdzie:

\( U \) – napięcie (V),
\( R \) – opór elektryczny (Ω),
\( I \) – natężenie prądu (A).

Dla pojedynczego elementu (np. rezystora) spadek napięcia wynosi:

\[ \Delta U = R \cdot I \]

W praktyce bardzo często właśnie w ten sposób liczymy spadek napięcia: znając opór elementu i prąd płynący przez ten element.

Spadek napięcia w prostym obwodzie z jednym odbiornikiem

Rozważmy najprostszy obwód z jednym rezystorem podłączonym do źródła napięcia stałego (np. baterii).

Jeśli źródło ma napięcie \( U_{\text{źródła}} \), a rezystor ma opór \( R \), to:

prąd w obwodzie: \[ I = \frac{U_{\text{źródła}}}{R} \]
spadek napięcia na rezystorze (jedynym elemencie): \[ \Delta U = R \cdot I = U_{\text{źródła}} \]

W takim układzie cały spadek napięcia „odbywa się” na tym jednym rezystorze.

Przykład 1 – pojedynczy rezystor

Zadanie:
Bateria ma napięcie \( U = 12\ \text{V} \). Do baterii podłączony jest rezystor o oporze \( R = 6\ \Omega \). Oblicz prąd płynący w obwodzie i spadek napięcia na rezystorze.

Rozwiązanie krok po kroku:

Obliczamy prąd z prawa Ohma:
\[
I = \frac{U}{R} = \frac{12\ \text{V}}{6\ \Omega} = 2\ \text{A}
\]
Spadek napięcia na rezystorze:
\[
\Delta U = R \cdot I = 6\ \Omega \cdot 2\ \text{A} = 12\ \text{V}
\]

Widzimy, że cały spadek napięcia jest równy napięciu źródła, ponieważ w obwodzie jest tylko jeden element.

Spadek napięcia w obwodzie szeregowym

W obwodzie szeregowym prąd jest taki sam we wszystkich elementach, natomiast napięcie „dzieli się” na poszczególne elementy.

Dla dwóch rezystorów w szeregu:

\[ R_{\text{zast}} = R_1 + R_2 \]

Prąd w obwodzie:

\[ I = \frac{U_{\text{źródła}}}{R_{\text{zast}}} = \frac{U_{\text{źródła}}}{R_1 + R_2} \]

Spadek napięcia na każdym rezystorze:

\[
\Delta U_1 = R_1 \cdot I,\quad
\Delta U_2 = R_2 \cdot I
\]

oraz zachodzi ważna zależność:

\[ U_{\text{źródła}} = \Delta U_1 + \Delta U_2 \]

Przykład 2 – spadek napięcia w obwodzie szeregowym

Zadanie:
Do baterii \( U = 12\ \text{V} \) podłączono szeregowo dwa rezystory: \( R_1 = 2\ \Omega \) i \( R_2 = 4\ \Omega \). Oblicz:

prąd w obwodzie,
spadek napięcia na każdym rezystorze.

Rozwiązanie:

Opór zastępczy:
\[
R_{\text{zast}} = R_1 + R_2 = 2\ \Omega + 4\ \Omega = 6\ \Omega
\]
Prąd w obwodzie:
\[
I = \frac{U}{R_{\text{zast}}} = \frac{12\ \text{V}}{6\ \Omega} = 2\ \text{A}
\]
Spadek napięcia na \( R_1 \):
\[
\Delta U_1 = R_1 \cdot I = 2\ \Omega \cdot 2\ \text{A} = 4\ \text{V}
\]
Spadek napięcia na \( R_2 \):
\[
\Delta U_2 = R_2 \cdot I = 4\ \Omega \cdot 2\ \text{A} = 8\ \text{V}
\]
Sprawdzenie:
\[
\Delta U_1 + \Delta U_2 = 4\ \text{V} + 8\ \text{V} = 12\ \text{V} = U_{\text{źródła}}
\]

Zauważ, że większy opór ma większy spadek napięcia. To naturalne: na „większej przeszkodzie” zużywa się więcej energii.

Spadek napięcia w obwodzie równoległym

W obwodzie równoległym wszystkie gałęzie są podłączone do tych samych punktów, więc na każdej gałęzi jest to samo napięcie. To znaczy:

\[
U = U_1 = U_2 = \dots
\]

Spadek napięcia na każdym z równolegle połączonych rezystorów jest równy napięciu źródła. W takim układzie częściej obliczamy prądy w poszczególnych gałęziach niż spadki napięcia, ponieważ spadek napięcia jest „z góry znany”.

Przykład 3 – obwód równoległy

Zadanie:
Źródło napięcia \( U = 10\ \text{V} \) zasila dwa rezystory połączone równolegle: \( R_1 = 5\ \Omega \), \( R_2 = 10\ \Omega \). Jaki jest spadek napięcia na każdym rezystorze?

Rozwiązanie:

Ponieważ rezystory są połączone równolegle, na każdym z nich jest takie samo napięcie jak źródła:

\[
\Delta U_1 = \Delta U_2 = U = 10\ \text{V}
\]

W tym przypadku obliczamy raczej prądy w gałęziach, ale spadek napięcia jest oczywisty.

Wzór na spadek napięcia w przewodach

Oprócz spadku napięcia na odbiornikach (np. żarówkach, rezystorach), w praktyce często interesuje nas spadek napięcia w przewodach łączących źródło z odbiornikiem. Każdy przewód ma opór, zależny od:

długości przewodu \( L \),
przekroju poprzecznego \( S \),
materiału (opisywanego przez oporność właściwą \( \rho \)).

Opór przewodu obliczamy ze wzoru:

\[
R_{\text{przewodu}} = \rho \cdot \frac{L}{S}
\]

gdzie:

\( \rho \) – oporność właściwa materiału (Ω·m),
\( L \) – długość przewodu (m),
\( S \) – pole przekroju przewodu (m²).

Jeśli znamy prąd \( I \) płynący przez przewód, to spadek napięcia na tym przewodzie wynosi:

\[
\Delta U_{\text{przewodu}} = I \cdot R_{\text{przewodu}} = I \cdot \rho \cdot \frac{L}{S}
\]

Dlaczego długość przewodu liczona jest często „podwójnie”?

W typowym obwodzie prąd musi „przejść” od źródła do odbiornika i wrócić. Jeśli więc przewód ma długość \( L \) w jedną stronę, to całkowita długość przewodu, po której płynie prąd, wynosi około \( 2L \). Wówczas we wzorze stosuje się:

\[
R_{\text{całk}} = \rho \cdot \frac{2L}{S}
\]

\[
\Delta U_{\text{całk}} = I \cdot \rho \cdot \frac{2L}{S}
\]

Przykład 4 – spadek napięcia w przewodzie

Zadanie:
Mamy przewód miedziany zasilający odbiornik o prądzie \( I = 10\ \text{A} \). Długość przewodu w jedną stronę to \( L = 20\ \text{m} \), przekrój przewodu \( S = 2{,}5\ \text{mm}^2 \). Przyjmij oporność właściwą miedzi \( \rho = 0{,}0175\ \Omega \cdot \text{mm}^2/\text{m} \) (zapisana w jednostkach wygodnych dla elektryków). Oblicz spadek napięcia na przewodach (tam i z powrotem).

Uwaga jednostki:
Jeśli używamy \( \rho \) w jednostkach \(\Omega \cdot \text{mm}^2/\text{m}\), to długość dajemy w metrach, a przekrój w mm² – wzór działa „bez konwersji” na m².

Rozwiązanie:

Całkowita długość przewodu (tam i z powrotem):
\[
L_{\text{całk}} = 2 \cdot 20\ \text{m} = 40\ \text{m}
\]
Opór przewodów:
\[
R_{\text{przewodu}} = \rho \cdot \frac{L_{\text{całk}}}{S} = 0{,}0175\ \Omega \cdot \frac{40}{2{,}5} \approx 0{,}28\ \Omega
\]
Spadek napięcia na przewodach:
\[
\Delta U_{\text{przewodu}} = I \cdot R_{\text{przewodu}} = 10\ \text{A} \cdot 0{,}28\ \Omega = 2{,}8\ \text{V}
\]

Jeśli napięcie zasilania wynosi np. 230 V, to na przewodach tracimy około 2,8 V, a do odbiornika dociera około 227,2 V.

Podstawowe wzory na spadek napięcia – podsumowanie

Przypadek	Wzór	Opis
Ogólny spadek napięcia na elemencie	\( \Delta U = U_{\text{początek}} – U_{\text{koniec}} \)	Definicja spadku napięcia
Spadek napięcia na rezystorze	\( \Delta U = R \cdot I \)	Bezpośrednie zastosowanie prawa Ohma
Opór przewodu	\( R = \rho \cdot \dfrac{L}{S} \)	Opór zależy od materiału, długości i przekroju
Spadek napięcia na przewodzie	\( \Delta U = I \cdot \rho \cdot \dfrac{L}{S} \)	Połączenie prawa Ohma i wzoru na opór przewodu
Obwód szeregowy – suma spadków	\( U_{\text{źródła}} = \sum \Delta U_i \)	Napięcie źródła równe sumie spadków na elementach

Jak obliczyć spadek napięcia krok po kroku?

Postępuj według poniższych kroków:

Rozpoznaj obwód – czy elementy są połączone szeregowo, równolegle czy w sposób mieszany.
Wyznacz prąd – często najpierw trzeba obliczyć prąd w obwodzie (np. z prawa Ohma dla oporu zastępczego).
Zastosuj odpowiedni wzór:
- dla pojedynczego rezystora: \( \Delta U = R \cdot I \),
- dla przewodu: \( \Delta U = I \cdot \rho \cdot \frac{L}{S} \).
Sprawdź sumę spadków – w obwodach szeregowych suma spadków napięć powinna dać napięcie źródła.

Prosty kalkulator spadku napięcia (rezystor lub przewód)

Poniższy prosty kalkulator pozwoli Ci policzyć spadek napięcia na:

pojedynczym rezystorze (użyj opcji „Rezystor”),
przewodzie o zadanej długości, przekroju i oporności właściwej (opcją „Przewód”).

Prąd \( I \) [A]:
Opór \( R \) [Ω]:

Spadek napięcia a prąd – prosta wizualizacja

Dla danego, stałego oporu spadek napięcia rośnie wprost proporcjonalnie do prądu. To bezpośrednia konsekwencja prawa Ohma: \( \Delta U = R \cdot I \).

Poniższy prosty wykres pokazuje zależność spadku napięcia od prądu dla oporu \( R = 5\ \Omega \). Widać, że jeśli prąd rośnie liniowo, to spadek napięcia też rośnie liniowo.

Dodatkowe przykłady zadań ze spadkiem napięcia

Przykład 5 – obwód mieszany, spadek na wybranym rezystorze

Zadanie:
Źródło \( U = 18\ \text{V} \) zasila obwód, w którym szeregowo połączone są: rezystor \( R_1 = 2\ \Omega \) oraz równoległe połączenie rezystorów \( R_2 = 6\ \Omega \) i \( R_3 = 3\ \Omega \). Oblicz spadek napięcia na rezystorze \( R_3 \).

Rozwiązanie:

Najpierw obliczamy opór zastępczy gałęzi równoległej \( R_2 \parallel R_3 \):
\[
\frac{1}{R_{23}} = \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} = \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3}{6}
\]
\[
R_{23} = \frac{6}{3} = 2\ \Omega
\]
Teraz mamy prosty obwód szeregowy: \( R_1 = 2\ \Omega \) i \( R_{23} = 2\ \Omega \).
\[
R_{\text{zast}} = R_1 + R_{23} = 2\ \Omega + 2\ \Omega = 4\ \Omega
\]
Prąd główny w obwodzie:
\[
I = \frac{U}{R_{\text{zast}}} = \frac{18\ \text{V}}{4\ \Omega} = 4{,}5\ \text{A}
\]
Spadek napięcia na \( R_1 \):
\[
\Delta U_1 = R_1 \cdot I = 2\ \Omega \cdot 4{,}5\ \text{A} = 9\ \text{V}
\]
Napięcie na gałęzi równoległej (czyli spadek napięcia na \( R_2 \) i \( R_3 \)) to reszta z napięcia źródła:
\[
\Delta U_{23} = U – \Delta U_1 = 18\ \text{V} – 9\ \text{V} = 9\ \text{V}
\]
W gałęzi równoległej napięcie jest takie samo, więc:
\[
\Delta U_3 = \Delta U_{23} = 9\ \text{V}
\]

Odpowiedź: spadek napięcia na rezystorze \( R_3 \) wynosi 9 V.

Przykład 6 – sprawdzenie dopuszczalnego spadku napięcia w instalacji

Zadanie:
Obwód gniazda w domu zasilany jest napięciem 230 V. Dopuszczalny spadek napięcia na przewodach przyjmuje się jako 3% napięcia znamionowego. Przewód (tam i z powrotem) ma długość 30 m, przekrój 2,5 mm², wykonany jest z miedzi (\( \rho = 0{,}0175\ \Omega \cdot \text{mm}^2/\text{m} \)). Jaki maksymalny prąd może płynąć tym obwodem, aby nie przekroczyć dopuszczalnego spadku napięcia?

Rozwiązanie:

Dopuszczalny spadek napięcia:
\[
\Delta U_{\text{dop}} = 0{,}03 \cdot 230\ \text{V} = 6{,}9\ \text{V}
\]
Opór przewodów (tam i z powrotem). Długość w jedną stronę \( L = 15\ \text{m} \), więc:
\[
L_{\text{całk}} = 2 \cdot 15\ \text{m} = 30\ \text{m}
\]
\[
R_{\text{przew}} = \rho \cdot \frac{L_{\text{całk}}}{S} = 0{,}0175 \cdot \frac{30}{2{,}5} \approx 0{,}21\ \Omega
\]
Spadek napięcia przy nieznanym prądzie \( I \):
\[
\Delta U = I \cdot R_{\text{przew}}
\]
Warunek:
\[
I \cdot R_{\text{przew}} \le \Delta U_{\text{dop}}
\]
\[
I \le \frac{\Delta U_{\text{dop}}}{R_{\text{przew}}} = \frac{6{,}9}{0{,}21} \approx 32{,}86\ \text{A}
\]

W praktyce zabezpieczenie i tak będzie dużo mniejsze (np. 16 A), więc przy tym przekroju i długości przewodu warunek dopuszczalnego spadku napięcia jest spełniony.

Najczęstsze błędy przy obliczaniu spadku napięcia

Mylenie obwodów szeregowych z równoległymi – w szeregowym prąd jest taki sam, a napięcie się „dzieli”; w równoległym napięcie jest to samo, a dzieli się prąd.
Pominięcie długości powrotnej przewodu – prąd płynie tam i z powrotem, więc efektywna długość to prawie zawsze \( 2L \).
Błędne jednostki – szczególnie przy stosowaniu oporności właściwej \( \rho \); trzeba zwrócić uwagę, czy wzór używa m² czy mm².
Brak sprawdzenia sumy spadków – w obwodzie szeregowym suma spadków musi dać napięcie źródła (w przybliżeniu, pomijając np. spadki na przewodach, jeśli ich nie liczymy).

Jak wykorzystać tę wiedzę w praktyce?

Znajomość wzoru na spadek napięcia i sposobu jego obliczania przydaje się m.in. gdy:

projektujesz prosty obwód z baterią i komponentami (np. w Arduino, w prostych układach elektronicznych),
chcesz dobrać odpowiedni rezystor do diody LED (żeby zapewnić prawidłowy spadek napięcia i prąd),
sprawdzasz, czy długość i przekrój przewodów w instalacji domowej są odpowiednie,
analizujesz, dlaczego urządzenie działa słabiej przy długim, cienkim przewodzie zasilającym (duży spadek napięcia na przewodzie).

Po opanowaniu podstawowych wzorów i kilku prostych kroków obliczeniowych, liczenie spadku napięcia staje się rutynową czynnością, która pomaga zrozumieć i zaprojektować niemal każdy obwód elektryczny.