Dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie liczb ujemnych – materiały dla klasy 6

Dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie liczb ujemnych

Liczby ujemne to ważny koncept matematyczny, który poznajemy w szkole podstawowej. W klasie 6 uczniowie uczą się wykonywać podstawowe działania na tych liczbach. W tym artykule omówimy, jak dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić liczby ujemne, przedstawimy zasady rządzące tymi działaniami oraz pokażemy liczne przykłady.

Czym są liczby ujemne?

Liczby ujemne to liczby mniejsze od zera. Na osi liczbowej znajdują się one po lewej stronie od zera. Oznaczamy je znakiem minus przed liczbą, na przykład: \(-1\), \(-5\), \(-10\).

Dodawanie liczb ujemnych

Przy dodawaniu liczb ujemnych warto pamiętać o kilku zasadach:

1. Dodawanie dwóch liczb ujemnych

Gdy dodajemy dwie liczby ujemne, dodajemy ich wartości bezwzględne (czyli liczby bez znaku minus) i do wyniku dodajemy znak minus.

Wzór: \((-a) + (-b) = -(a + b)\)

Przykład 1: \((-3) + (-5) = -(3 + 5) = -8\)

Przykład 2: \((-7) + (-2) = -(7 + 2) = -9\)

2. Dodawanie liczby ujemnej i dodatniej

Gdy dodajemy liczbę ujemną do dodatniej (lub odwrotnie), odejmujemy mniejszą wartość bezwzględną od większej i do wyniku dodajemy znak liczby o większej wartości bezwzględnej.

Wzór: Jeśli \(a > b\), to \(a + (-b) = a – b\)

Wzór: Jeśli \(a < b\), to \(a + (-b) = -(b - a)\)

Przykład 3: \(5 + (-3) = 5 – 3 = 2\)

Przykład 4: \(3 + (-7) = -(7 – 3) = -4\)

Możemy też myśleć o tym jak o przesuwaniu się po osi liczbowej: liczba dodatnia przesuwa nas w prawo, a ujemna w lewo.

Odejmowanie liczb ujemnych

Odejmowanie można zamienić na dodawanie liczby przeciwnej.

Wzór: \(a – b = a + (-b)\)

1. Odejmowanie liczby ujemnej

Gdy odejmujemy liczbę ujemną, zamieniamy to na dodawanie liczby przeciwnej (czyli dodatniej).

Wzór: \(a – (-b) = a + b\)

Przykład 5: \(5 – (-3) = 5 + 3 = 8\)

Przykład 6: \(-4 – (-7) = -4 + 7 = 3\)

2. Odejmowanie od liczby ujemnej

Gdy odejmujemy liczbę dodatnią od ujemnej, dodajemy liczbę ujemną.

Wzór: \((-a) – b = (-a) + (-b) = -(a + b)\)

Przykład 7: \((-5) – 3 = (-5) + (-3) = -8\)

Mnożenie liczb ujemnych

Przy mnożeniu liczb ujemnych obowiązują następujące zasady:

1. Mnożenie dwóch liczb ujemnych

Gdy mnożymy dwie liczby ujemne, wynik jest dodatni.

Wzór: \((-a) \cdot (-b) = a \cdot b\)

Przykład 8: \((-3) \cdot (-4) = 12\)

Przykład 9: \((-5) \cdot (-2) = 10\)

2. Mnożenie liczby ujemnej przez dodatnią

Gdy mnożymy liczbę ujemną przez dodatnią (lub odwrotnie), wynik jest ujemny.

Wzór: \((-a) \cdot b = -(a \cdot b)\)

Wzór: \(a \cdot (-b) = -(a \cdot b)\)

Przykład 10: \((-3) \cdot 4 = -12\)

Przykład 11: \(5 \cdot (-2) = -10\)

Zasada znaków przy mnożeniu

Możemy zapamiętać prostą zasadę:

• Dodatni × Dodatni = Dodatni
• Dodatni × Ujemny = Ujemny
• Ujemny × Dodatni = Ujemny
• Ujemny × Ujemny = Dodatni

Dzielenie liczb ujemnych

Przy dzieleniu liczb ujemnych obowiązują podobne zasady jak przy mnożeniu:

1. Dzielenie dwóch liczb ujemnych

Gdy dzielimy dwie liczby ujemne, wynik jest dodatni.

Wzór: \((-a) \div (-b) = a \div b\)

Przykład 12: \((-12) \div (-4) = 3\)

Przykład 13: \((-10) \div (-5) = 2\)

2. Dzielenie liczby ujemnej przez dodatnią

Gdy dzielimy liczbę ujemną przez dodatnią (lub odwrotnie), wynik jest ujemny.

Wzór: \((-a) \div b = -(a \div b)\)

Wzór: \(a \div (-b) = -(a \div b)\)

Przykład 14: \((-15) \div 3 = -5\)

Przykład 15: \(8 \div (-4) = -2\)

Zasada znaków przy dzieleniu

Podobnie jak przy mnożeniu, możemy zapamiętać zasadę:

• Dodatni ÷ Dodatni = Dodatni
• Dodatni ÷ Ujemny = Ujemny
• Ujemny ÷ Dodatni = Ujemny
• Ujemny ÷ Ujemny = Dodatni

Przykłady mieszanych działań

Teraz przeanalizujmy kilka bardziej złożonych przykładów, które łączą różne działania na liczbach ujemnych.

Przykład 16: \((-3) + 5 – (-2) = (-3) + 5 + 2 = 4\)

Przykład 17: \((-4) \cdot (-3) + (-6) = 12 + (-6) = 6\)

Przykład 18: \((-10) \div 2 – 3 = -5 – 3 = -8\)

Przykład 19: \((-6) \div (-3) \cdot (-2) = 2 \cdot (-2) = -4\)

Zadania do samodzielnego rozwiązania

Aby utrwalić poznane zasady, rozwiąż następujące zadania:

1. Oblicz: \((-7) + (-9)\)
2. Oblicz: \(5 + (-12)\)
3. Oblicz: \((-4) – (-10)\)
4. Oblicz: \((-3) – 8\)
5. Oblicz: \((-6) \cdot (-7)\)
6. Oblicz: \((-9) \cdot 4\)
7. Oblicz: \((-20) \div (-5)\)
8. Oblicz: \(18 \div (-6)\)
9. Oblicz: \((-2) \cdot 3 + (-5)\)
10. Oblicz: \((-15) \div 3 – (-4)\)

Kalkulator działań na liczbach ujemnych

Poniżej znajduje się prosty kalkulator, który pomoże ci sprawdzić wyniki działań na liczbach ujemnych:

Podsumowanie

Działania na liczbach ujemnych mogą początkowo wydawać się skomplikowane, ale po zrozumieniu podstawowych zasad stają się dość intuicyjne. Oto najważniejsze reguły, które warto zapamiętać:

• Przy dodawaniu dwóch liczb ujemnych, dodajemy ich wartości bezwzględne i dodajemy znak minus.
• Przy odejmowaniu liczby ujemnej, zamieniamy to na dodawanie liczby przeciwnej.
• Przy mnożeniu i dzieleniu dwóch liczb o tych samych znakach, wynik jest dodatni.
• Przy mnożeniu i dzieleniu dwóch liczb o różnych znakach, wynik jest ujemny.

Regularne ćwiczenie różnych przykładów pomoże ci opanować te zasady i sprawnie wykonywać działania na liczbach ujemnych.