Działania na potęgach: zadania maturalne i pdf do pobrania

Działania na potęgach – podstawy teoretyczne

Potęgi to jeden z fundamentalnych tematów matematycznych, który regularnie pojawia się na egzaminach maturalnych. Zrozumienie zasad działań na potęgach jest kluczowe dla rozwiązywania wielu zadań, nie tylko z tego działu, ale również z algebry, analizy matematycznej czy nawet geometrii. W tym artykule omówimy najważniejsze wzory i własności potęg, przedstawimy typowe zadania maturalne oraz udostępnimy zestaw ćwiczeń do pobrania w formacie PDF.

Podstawowe definicje i własności potęg

Zacznijmy od przypomnienia definicji potęgi. Dla dowolnej liczby rzeczywistej \(a\) i liczby naturalnej \(n\), potęga \(a^n\) oznacza iloczyn \(n\) czynników równych \(a\):

\[ a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ czynników}} \]

Na przykład: \(2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8\)

Rozszerzając definicję, wprowadzamy:

• Potęga o wykładniku zero: \(a^0 = 1\) dla \(a \neq 0\)
• Potęga o wykładniku ujemnym: \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\) dla \(a \neq 0\)
• Potęga o wykładniku wymiernym: \(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}\) dla \(a > 0\) lub dla \(a < 0\) i nieparzystego \(n\)

Najważniejsze wzory na działania na potęgach

Poniżej przedstawiamy kluczowe wzory, które należy znać przed przystąpieniem do rozwiązywania zadań maturalnych:

1. Mnożenie potęg o tej samej podstawie: \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\)
2. Dzielenie potęg o tej samej podstawie: \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\) dla \(a \neq 0\)
3. Potęga potęgi: \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\)
4. Potęga iloczynu: \((a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n\)
5. Potęga ilorazu: \(\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}\) dla \(b \neq 0\)

Przykłady zastosowania wzorów

Zobaczmy, jak stosować powyższe wzory w praktyce:

Przykład 1: Mnożenie potęg

Oblicz wartość wyrażenia: \(2^3 \cdot 2^5\)

Rozwiązanie:

\(2^3 \cdot 2^5 = 2^{3+5} = 2^8 = 256\)

Przykład 2: Dzielenie potęg

Oblicz wartość wyrażenia: \(\frac{3^7}{3^4}\)

Rozwiązanie:

\(\frac{3^7}{3^4} = 3^{7-4} = 3^3 = 27\)

Przykład 3: Potęga potęgi

Oblicz wartość wyrażenia: \((2^3)^2\)

Rozwiązanie:

\((2^3)^2 = 2^{3 \cdot 2} = 2^6 = 64\)

Przykład 4: Potęga iloczynu

Oblicz wartość wyrażenia: \((2 \cdot 3)^4\)

Rozwiązanie:

\((2 \cdot 3)^4 = 6^4 = 1296\)

Alternatywnie: \((2 \cdot 3)^4 = 2^4 \cdot 3^4 = 16 \cdot 81 = 1296\)

Potęgi o wykładnikach ujemnych i ułamkowych

Zadania maturalne często zawierają potęgi o wykładnikach ujemnych lub ułamkowych. Przypomnijmy podstawowe zasady:

Potęgi o wykładnikach ujemnych

Dla \(a \neq 0\) mamy: \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\)

Przykład: \(2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} = 0,125\)

Potęgi o wykładnikach ułamkowych

Dla \(a > 0\) mamy: \(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}\)

Przykład: \(4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2\)

Przykład: \(8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = 4\)

Typowe zadania maturalne dotyczące potęg

Przeanalizujmy kilka typowych zadań, które mogą pojawić się na egzaminie maturalnym:

Zadanie 1: Upraszczanie wyrażeń z potęgami

Uprość wyrażenie: \(\frac{2^{n+2} \cdot 4^{n-1}}{8^n}\)

Rozwiązanie:

Najpierw przekształćmy wszystkie podstawy potęg do tej samej wartości:

\(4 = 2^2\) oraz \(8 = 2^3\)

Zatem:
\begin{align}
\frac{2^{n+2} \cdot 4^{n-1}}{8^n} &= \frac{2^{n+2} \cdot (2^2)^{n-1}}{(2^3)^n}\\
&= \frac{2^{n+2} \cdot 2^{2(n-1)}}{2^{3n}}\\
&= \frac{2^{n+2} \cdot 2^{2n-2}}{2^{3n}}\\
&= \frac{2^{n+2+2n-2}}{2^{3n}}\\
&= \frac{2^{3n}}{2^{3n}}\\
&= 1
\end{align}

Zadanie 2: Rozwiązywanie równań z potęgami

Rozwiąż równanie: \(3^{x+1} = 27^{2-x}\)

Rozwiązanie:

Zauważmy, że \(27 = 3^3\), więc możemy zapisać:

\(3^{x+1} = (3^3)^{2-x} = 3^{3(2-x)}\)

Ponieważ podstawy potęg są równe, to wykładniki też muszą być równe:

\(x+1 = 3(2-x)\)

\(x+1 = 6-3x\)

\(4x = 5\)

\(x = \frac{5}{4}\)

Zadanie 3: Obliczanie wartości wyrażeń z potęgami

Oblicz wartość wyrażenia: \(2^{-3} \cdot 4^2 \cdot 8^{-\frac{1}{3}}\)

Rozwiązanie:

Przekształćmy wszystkie potęgi do tej samej podstawy:

\(2^{-3} \cdot 4^2 \cdot 8^{-\frac{1}{3}} = 2^{-3} \cdot (2^2)^2 \cdot (2^3)^{-\frac{1}{3}}\)

\(= 2^{-3} \cdot 2^{2 \cdot 2} \cdot 2^{3 \cdot (-\frac{1}{3})}\)

\(= 2^{-3} \cdot 2^4 \cdot 2^{-1}\)

\(= 2^{-3+4-1}\)

\(= 2^0\)

\(= 1\)

Potęgi w kontekście funkcji wykładniczej

Potęgi są ściśle związane z funkcją wykładniczą, która często pojawia się w zadaniach maturalnych. Funkcja wykładnicza o podstawie \(a\) (gdzie \(a > 0\) i \(a \neq 1\)) to funkcja postaci \(f(x) = a^x\).

Poniżej przedstawiamy wykresy funkcji wykładniczych dla różnych wartości \(a\):

Kalkulator potęg

Poniżej znajduje się prosty kalkulator, który pomoże Ci w obliczaniu potęg i weryfikacji wyników zadań:

Zadania maturalne z potęgami – poziom podstawowy

Przeanalizujmy teraz kilka typowych zadań maturalnych z poziomu podstawowego:

Zadanie 4: Obliczanie wartości wyrażeń

Oblicz wartość wyrażenia: \(\frac{5^2 \cdot 5^{-3}}{25^{-1}}\)

Rozwiązanie:

Przekształcamy wyrażenie, korzystając z poznanych wzorów:

\(\frac{5^2 \cdot 5^{-3}}{25^{-1}} = \frac{5^{2-3}}{(5^2)^{-1}} = \frac{5^{-1}}{5^{-2}} = 5^{-1-(-2)} = 5^1 = 5\)

Zadanie 5: Porównywanie wartości wyrażeń

Które z wyrażeń ma większą wartość: \(2^{10}\) czy \(3^6\)?

Rozwiązanie:

\(2^{10} = 1024\)

\(3^6 = 729\)

Zatem \(2^{10} > 3^6\)

Zadanie 6: Równania wykładnicze

Rozwiąż równanie: \(2^{2x-1} = 8\)

Rozwiązanie:

Przekształcamy \(8\) na potęgę o podstawie \(2\): \(8 = 2^3\)

Równanie przybiera postać: \(2^{2x-1} = 2^3\)

Ponieważ podstawy potęg są równe, to wykładniki też muszą być równe:

\(2x-1 = 3\)

\(2x = 4\)

\(x = 2\)

Zadania maturalne z potęgami – poziom rozszerzony

Na poziomie rozszerzonym zadania z potęgami są bardziej złożone i często łączą się z innymi działami matematyki:

Zadanie 7: Wyrażenia z potęgami i pierwiastkami

Uprość wyrażenie: \(\sqrt[3]{8a^6b^{12}} \cdot \sqrt[6]{a^3b^{-6}}\)

Rozwiązanie:

Przekształćmy wyrażenia pod pierwiastkami na potęgi:

\(\sqrt[3]{8a^6b^{12}} \cdot \sqrt[6]{a^3b^{-6}} = (8a^6b^{12})^{\frac{1}{3}} \cdot (a^3b^{-6})^{\frac{1}{6}}\)

\(= 8^{\frac{1}{3}} \cdot (a^6)^{\frac{1}{3}} \cdot (b^{12})^{\frac{1}{3}} \cdot (a^3)^{\frac{1}{6}} \cdot (b^{-6})^{\frac{1}{6}}\)

\(= 2 \cdot a^2 \cdot b^4 \cdot a^{\frac{1}{2}} \cdot b^{-1}\)

\(= 2 \cdot a^{2+\frac{1}{2}} \cdot b^{4-1}\)

\(= 2 \cdot a^{\frac{5}{2}} \cdot b^3\)

\(= 2a^{\frac{5}{2}}b^3\)

Zadanie 8: Równania wykładnicze z parametrem

Dla jakich wartości parametru \(m\) równanie \(2^x + 2^{-x} = m\) ma dokładnie jedno rozwiązanie?

Rozwiązanie:

Wprowadźmy podstawienie \(t = 2^x\). Wtedy \(2^{-x} = \frac{1}{2^x} = \frac{1}{t}\).

Równanie przybiera postać: \(t + \frac{1}{t} = m\)

Mnożymy obie strony przez \(t\): \(t^2 + 1 = mt\)

Przekształcamy do postaci równania kwadratowego: \(t^2 - mt + 1 = 0\)

Aby równanie miało dokładnie jedno rozwiązanie, wyróżnik musi być równy zero:

\(\Delta = m^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 0\)

\(m^2 = 4\)

\(m = \pm 2\)

Ponieważ \(t = 2^x > 0\) dla każdego \(x\), to równanie kwadratowe musi mieć dokładnie jedno rozwiązanie dodatnie. Sprawdzając dla \(m = 2\) i \(m = -2\), otrzymujemy, że tylko dla \(m = 2\) równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie, które wynosi \(t = 1\), co odpowiada \(x = 0\).

Potęgi a ciągi geometryczne

Potęgi są ściśle związane z ciągami geometrycznymi, gdzie każdy kolejny wyraz jest iloczynem poprzedniego wyrazu i stałej liczby \(q\) (ilorazu ciągu). Dla ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie \(a_1\) i ilorazie \(q\), \(n\)-ty wyraz ciągu wynosi:

\[ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} \]

Jest to bezpośrednie zastosowanie potęgowania.

Zadanie 9: Ciąg geometryczny i potęgi

W ciągu geometrycznym \(a_3 = 4\) oraz \(a_5 = 16\). Oblicz pierwszy wyraz ciągu oraz iloraz.

Rozwiązanie:

Dla ciągu geometrycznego mamy:

\(a_3 = a_1 \cdot q^{3-1} = a_1 \cdot q^2 = 4\)

\(a_5 = a_1 \cdot q^{5-1} = a_1 \cdot q^4 = 16\)

Z pierwszego równania: \(a_1 = \frac{4}{q^2}\)